LGOJP3959 宝藏

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题解

一开始想了一个错误的状压dp，水了40分。
这里先记录一下错误的做法：

错解：

设(g[i,j,S])从(i)到(j)，只经过集合(S)中的点的最短路，这个可以(O(n^3 2 ^ n))处理出来。
设(f[S])表示生成树的集合为(S)时的最小代价，每次枚举起点，以及新加入生成树的点，利用(g)数组可以(O(1))算出来(K)。总复杂度是(O(n^3 2^n))
那么为什么错了呢？因为(g[i,j,S])是一个点集内互达的点的(min)，其涉及到的边集远大于生成树的边集，所以相当于利用了很多没有选的边来减少(K)，所以算出来的(K)是错误的。

正解：

设(g[S])表示从集合(S)内的点出发，只走一条边可到达的点集（包括集合(S)内的点）。这个可以(O(n^2 2^n))处理。
设(f[i,S])为生成树最大树高为(i)，目前生成树集合为(S)的最小代价。
我们枚举(S)的子集(S0)，设其在(S)为全集时的补集为(S1)，那么当(g[S0]|S=g[S0])时（即通过(S0)的中的点可以到达当前集合(S)中全部的点），(f[i][S]=min{f[i-1][S0]+cost })。(cost)即为将(S1)与(S0)合并为(S)的最小代价。
这里有一个很重要的结论，在最优解中，拓展的集合(S1)在(S)中树高均为(i)（(S0)中最大树高为(i-1)）。
考虑证明，假设有一个点(x(xin S0))，有边(d[y][x]>d[z][x],dep_y<dep_z)，满足(d[y][x]*(dep_y+1)<d[z][x]*(dep_z+1))。
那在当(y)为生成树集中的最深点时一定已经拓展到了点(x)，所以一定有另一状态(S_2)可以转移到(S)使答案最优。
即最优解中的生成树一定可以按深度拓展。
所以转移时的(cost)只需枚举(S_1)中的点，求出(S_1)到(S_0)中的点的(min_{dis})之和，乘上(i)，就是这次加边的(cost)。
初始化(f[2^k]=0(kin [0,n-1]))。答案即为所有集合(S)为全集时的(f)值的(min)。
不看题解还是不会写...
因为状压枚举子集的复杂度是(O(3^n))。所以总复杂度是(O(n^2 3 ^n))

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
const int N = 13;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n, m, w[N][N];
int f[N][(1<<N)+10], g[(1<<N)+10];

int main() {
	memset(w, 0x3f, sizeof(w));
    cin >> n >> m;
    for(int u, v, k, i = 1; i <= m; ++i) {
        cin >> u >> v >> k;
        --u; --v;
        w[u][v] = w[v][u] = min(w[u][v], k);
    }
    for(int S = 1; S < 1 << n; ++S) 
        for(int i = 0; i < n; ++i) 
            if((S >> i) & 1) {
                w[i][i] = 0; g[S] |= 1 << i;
                for(int j = 0; j < n; ++j) 
                    if(w[i][j] != inf) g[S] |= 1 << j;
            }
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    for(int i = 0; i < n; ++i) f[0][1 << i] = 0;
    for(int S = 1; S < 1 << n; ++S) {
        for(int S0 = S - 1; S0; S0 = (S0 - 1) & S) {
            int S1 = S ^ S0;
            int sum = 0;
            if((g[S0] | S) == g[S0]) {
                for(int i = 0; i < n; ++i) {
                    if((S1 >> i) & 1) {
                        int tmp = inf;
                        for(int j = 0; j < n; ++j) {
                            if(((S0 >> j) & 1)) 
                                tmp = min(tmp, w[i][j]);
                        }
                        sum += tmp;
                    }
                }
                for(int i = 1; i < n; ++i) { // 树高 
                    if(f[i - 1][S0] != inf)
                        f[i][S] = min(f[i][S], f[i - 1][S0] + i * sum);
                }
            }
        }
    }
    int ans = inf;
    for(int i = 0; i < n; ++i) ans = min(ans, f[i][(1 << n) - 1]);
    printf("%d
", ans);
}