伽罗瓦域(有限域)GFq^12上元素的1→2→4→12塔式扩张(2)------第二次扩张

接上文

《伽罗瓦域(有限域)GFq^12上元素的1→2→4→12塔式扩张(1)------第一次扩张》

继续探讨塔式扩张的第二部分，即1→2→4→12中2 → 4的元素扩张表示方式与计算公式推导。

3.  （4）

塔式扩张中的（4），即域GFq⁴。这是从二次域向四次域的第二次扩张，扩张公式如下：

Fq⁴[v] = Fq²[v] / ( v² - ξ)， 其中，ξ = μ

即：该次扩张的即约多项式为 x² - μ, μ² = α,  μ = √(-2)

现在依然按照高维在前，低维在后的方式，定义两个域GFq⁴上的元素。

X = (a, b ,c, d)

Y = (e, f, g, h)

即：

X = a * v³ + b * v² + c * v¹ + d * v⁰ = a * v³ + b * v² + c * v + d

Y = e * v³ + f * v² + g * v¹ + h * v⁰ =  e * v³ + f * v² + g * v + h

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加法和减法依然跟域GFq²上的元素运算规则一样，直接计算对应维度上的元素在素域q下的加和减。

X + Y = (a + e, b + f, c + g, d + h)

X - Y = (a - e, b - f, c - g, d - h)

这一篇主要讨论域GFq⁴上的元素的乘法，以及带有即约多项式值的乘法。

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乘法：

 即然是从2到4点扩张，那么首先考虑到将4次域上的元素用2次域上的元素进行表示。

已知

X = (a, b ,c, d)

Y = (e, f, g, h)

为使用基域Fq上的元素进行表示的。

那么，定义四个域GFq²上的元素如下：

A = (a, b)

B = (c, d)

C = (e, f)

D = (g, h)

则可以将X和Y以域GFq²上的元素进行表示

X = (a, b ,c, d) = (A, B) = A * v + B

Y = (e, f, g, h) = (C, D) = C * v + D

则：

X * Y = (A * v + B) * (C * v + D)

　　  = (A * C * v² + (A * D + B * C) * v + B * D) mod ( v² - ξ)

即约多项式为 v² - ξ， 其中 v² = ξ = μ， 则：

　　  = (A * D + B * C) * v + B * D + A * C * μ

　　  = (A * D + B * C  ,  B * D + A * C * μ)

其中A、B、C、D均为域GFq²上的元素，所以A * D 、 B * C  和  B * D均满足域GFq²上的元素的乘法，该计算公式已在上一篇博客中做过推导。

而剩余的A * C * μ则适用于上篇文章中的带即约多项式值的乘法，此处也解释了当时留的悬念，即为什么要单独设置一个这样的乘法。

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 带有即约多项式值的乘法：

此处设置这样一个乘法，想必也就好解释了，必然会在下一次扩张至12次域的时候，会有这样的子式需要处理，其计算过程为：

X * Y * v = (A * v + B) * (C * v + D) * v

　　　　 = (A * C * v³ + (A * D + B * C) * v² + B * D * v) mod ( v² - ξ)

　　　　 = A * C * v * μ + (A * D + B * C) * μ + B * D * v

　　　　 = (B * D + A * C * μ) * v + (A * D + B * C) * μ

　　　　 = (B * D + A * C * μ   ,    A * D * μ + B * C * μ)

同上，该计算过程转化为2次域GFq²上的元素的计算，包含一个乘法操作和三个带即约多项式的乘法操作。

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至此，便是所有在SM9算法中会用到的域GFq⁴上的计算规则。

将该部分总结一下，两个域GFq⁴上的乘法，使用域GFq²上的元素表示之后，转化成了域GFq²上的乘法共4次，而一个域GFq²上的乘法需要域GFp上的乘法共4次，也就是最终需要16次基域乘法(不包含加减)。

而向12次域GFq¹²上扩张的时候，则会转化成更多次的基域运算，该过程被称为塔式扩张想必也是因此。

而扩张的目的也更加明显，就是将阔域上的元素使用基域上的元素进行表示，并适配基域运算法则进行计算。

下一个篇幅会探讨第三次扩张4→12，并推导12次阔域下的元素计算公式。