接上文
《伽罗瓦域(有限域)GFq^12上元素的1→2→4→12塔式扩张(1)------第一次扩张》
继续探讨塔式扩张的第二部分，即1→2→4→12中2 → 4的元素扩张表示方式与计算公式推导。
3. （4）
塔式扩张中的（4），即域GFq4。这是从二次域向四次域的第二次扩张，扩张公式如下：
Fq4[v] = Fq2[v] / ( v2 - ξ)， 其中，ξ = μ
即：该次扩张的即约多项式为 x2 - μ, μ2 = α, μ = √(-2)
现在依然按照高维在前，低维在后的方式，定义两个域GFq4上的元素。
X = (a, b ,c, d)
Y = (e, f, g, h)
即：
X = a * v3 + b * v2 + c * v1 + d * v0 = a * v3 + b * v2 + c * v + d
Y = e * v3 + f * v2 + g * v1 + h * v0 = e * v3 + f * v2 + g * v + h
加法和减法依然跟域GFq2上的元素运算规则一样，直接计算对应维度上的元素在素域q下的加和减。
X + Y = (a + e, b + f, c + g, d + h)
X - Y = (a - e, b - f, c - g, d - h)
这一篇主要讨论域GFq4上的元素的乘法，以及带有即约多项式值的乘法。
乘法：
即然是从2到4点扩张，那么首先考虑到将4次域上的元素用2次域上的元素进行表示。
已知
X = (a, b ,c, d)
Y = (e, f, g, h)
为使用基域Fq上的元素进行表示的。
那么，定义四个域GFq2上的元素如下：
A = (a, b)
B = (c, d)
C = (e, f)
D = (g, h)
则可以将X和Y以域GFq2上的元素进行表示
X = (a, b ,c, d) = (A, B) = A * v + B
Y = (e, f, g, h) = (C, D) = C * v + D
则：
X * Y = (A * v + B) * (C * v + D)
= (A * C * v2 + (A * D + B * C) * v + B * D) mod ( v2 - ξ)
即约多项式为 v2 - ξ， 其中 v2 = ξ = μ， 则：
= (A * D + B * C) * v + B * D + A * C * μ
= (A * D + B * C , B * D + A * C * μ)
其中A、B、C、D均为域GFq2上的元素，所以A * D 、 B * C 和 B * D均满足域GFq2上的元素的乘法，该计算公式已在上一篇博客中做过推导。
而剩余的A * C * μ则适用于上篇文章中的带即约多项式值的乘法，此处也解释了当时留的悬念，即为什么要单独设置一个这样的乘法。
带有即约多项式值的乘法：
此处设置这样一个乘法，想必也就好解释了，必然会在下一次扩张至12次域的时候，会有这样的子式需要处理，其计算过程为：
X * Y * v = (A * v + B) * (C * v + D) * v
= (A * C * v3 + (A * D + B * C) * v2 + B * D * v) mod ( v2 - ξ)
= A * C * v * μ + (A * D + B * C) * μ + B * D * v
= (B * D + A * C * μ) * v + (A * D + B * C) * μ
= (B * D + A * C * μ , A * D * μ + B * C * μ)
同上，该计算过程转化为2次域GFq2上的元素的计算，包含一个乘法操作和三个带即约多项式的乘法操作。
至此，便是所有在SM9算法中会用到的域GFq4上的计算规则。
将该部分总结一下，两个域GFq4上的乘法，使用域GFq2上的元素表示之后，转化成了域GFq2上的乘法共4次，而一个域GFq2上的乘法需要域GFp上的乘法共4次，也就是最终需要16次基域乘法(不包含加减)。
而向12次域GFq12上扩张的时候，则会转化成更多次的基域运算，该过程被称为塔式扩张想必也是因此。
而扩张的目的也更加明显，就是将阔域上的元素使用基域上的元素进行表示，并适配基域运算法则进行计算。
下一个篇幅会探讨第三次扩张4→12，并推导12次阔域下的元素计算公式。