POJ3680：Intervals（离散化+最大流最小费用）

Intervals

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题目链接：http://poj.org/problem?id=3680

Description:

You are given N weighted open intervals. The ith interval covers (a_i, b_i) and weighs w_i. Your task is to pick some of the intervals to maximize the total weights under the limit that no point in the real axis is covered more than k times.

Input:

The first line of input is the number of test case.
The first line of each test case contains two integers, N and K (1 ≤ K ≤ N ≤ 200).
The next N line each contain three integers a_i, b_i, w_i(1 ≤ a_i < b_i ≤ 100,000, 1 ≤ w_i ≤ 100,000) describing the intervals. 
There is a blank line before each test case.

Output:

For each test case output the maximum total weights in a separate line.

Sample Input：

4

3 1
1 2 2
2 3 4
3 4 8

3 1
1 3 2
2 3 4
3 4 8

3 1
1 100000 100000
1 2 3
100 200 300

3 2
1 100000 100000
1 150 301
100 200 300

Sample Output:

14
12
100000
100301

题意：

给出n个开区间，每个区间都有其权值，现在要求选择权值和最大的几个区间，并且每个点被区间覆盖的次数不超过k。注意这里的点不是整数点，是数轴上面所有的点。

题解:

区间覆盖的权值问题也可以用网络流...orz

我们并不关系区间边界的具体大小，只需要知道其相对大小就行了，所以我们可以考虑进行离散化，以免空间太大数组不能存储。

这里我们首先将点排序、去重、离散化后，0->1,1->2....p->p+1连一条容量为k的边，表示经过这些边的流量不能超过k。

然后根据我们输入的区间，比如离散化后的点为p,q，那么连一条p->q容量为1费用为相应负权值的边。

最后跑个最大流量最小费用就行啦~

这样建图为什么是正确的呢？我想的是总流量不超过k则限制了每个点的覆盖次数，对于两个不相交的区间，那么一个流则可以跑完。对于相交的区间，则需要多的流才能够跑完。

这种建图方式虽然不是很直观，但是yy一下就好了。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#define mp make_pair
#define fir first
#define sec second
#define INF 1e9
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 505;
int n,k,T;
int head[N],vis[N],d[N],a[N],pa[N],pre[N];
struct Edge{
    int v,next,c,w;
}e[N*N<<3];
int tot ;
void adde(int u,int v,int c,int w){
    e[tot].v=v;e[tot].next=head[u];e[tot].w=w;e[tot].c=c;head[u]=tot++;
    e[tot].v=u;e[tot].next=head[v];e[tot].w=-w;e[tot].c=0;head[v]=tot++;
}
int spfa(int s,int t,int &flow,int &cost){
    for(int i=0;i<=t;i++) d[i]=a[i]=INF;d[s]=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));vis[s]=1;
    memset(pre,-1,sizeof(pre));memset(pa,-1,sizeof(pa));
    queue <int> q;q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
            int v=e[i].v;
            if(e[i].c>0 && d[v]>d[u]+e[i].w){
                d[v]=d[u]+e[i].w;
                pa[v]=u;pre[v]=i;
                a[v]=min(a[u],e[i].c);
                if(!vis[v]){
                    vis[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    if(d[t]==INF) return 0;
    flow+=a[t];
    cost+=a[t]*d[t];
    for(int i=t;i!=-1;i=pa[i]){
        int edge = pre[i];
        e[edge].c-=a[t];
        e[edge^1].c+=a[t];
    }
    return 1;
}
int Min_cost(int s,int t){
    int flow=0,cost=0;
    while(spfa(s,t,flow,cost));
    return cost;
}
int main(){
    cin>>T;
    while(T--){
        tot=0;memset(head,-1,sizeof(head));
        scanf("%d%d",&n,&k);
        vector <int> x;
        vector <pair<pii,int> > g;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            x.push_back(u);x.push_back(v);
            g.push_back(mp(mp(u,v),w));
        }
        sort(x.begin(),x.end());
        x.erase(unique(x.begin(),x.end()),x.end());
        int len = x.size();
        for(int i=0;i<=len;i++) adde(i,i+1,k,0);
        for(int i=0;i<n;i++){
            int u=g[i].fir.fir,v=g[i].fir.sec,w=g[i].sec;
            int p1 = lower_bound(x.begin(),x.end(),u)-x.begin()+1;
            int p2 = lower_bound(x.begin(),x.end(),v)-x.begin()+1;
            adde(p1,p2,1,-w);
        }
        printf("%d
",-Min_cost(0,len+1));
    }
    return 0;
}
/*
2
4 2
6 10 4
1 8 10
10 19 3
8 14 1


4 2
2 4 4
1 3 3
4 6 2
3 5 1
*/