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支持向量机（二）——数值优化
在上一篇博客中，较为详细的介绍了在数据完全线性可分的情况下，构建SVM模型的目标，并将构建目标转化为最大化几何距离的优化过程，本篇就将介绍具体优化时的计算过程。还是一样的，先推荐几篇不错的博文，大家也可以参考链接中的文章学习。
- 关于凸优化问题
http://www.360doc.com/content/18/0522/09/32196507_756021531.shtml
- 关于拉格朗日乘子法及对偶优化问题
  https://www.cnblogs.com/xinchen1111/p/8804858.html

  https://www.cnblogs.com/ooon/p/5721119.html

  https://www.cnblogs.com/mashiqi/p/3719101.html

1.凸优化问题

在一般的优化问题中求最大值或最小值，通常的做法是找出那些梯度为0的点（有的情况下还需要求出边界点的值），然后比较这些点的函数值，最后找出最大值或最小值。这个过程中有两个问题需要注意，一个是当存在多个极值点时，计算量会比较大；另外一个问题就是鞍点（比较常见的是 $f(x)=x^{3}$ 函数在 $x=0$ 处）的问题。所以，如果优化问题能够在附加一些限制条件时能到简化，那将非常利于最大值或最小值的求解，凸优化问题正是这样一种简化后的优化问题。

1.1 凸集

对于 $n$ 维空间中点的集合 $C$ ，如果对集合中任意两个点 $x$ 、 $y$ ，以及实数 $heta$ ， $0leqslant hetaleqslant 1$ ，都有

$heta x+(1- heta )yin C$

则集合 $C$ 称为凸集，在二维空间中，可以用一张简单的图来描述一下凸集和非凸集的区别

在一些特定的情况下，我们来考虑一下凸集
- 在 $n$ 维实向量空间中， $x$ 、 $y$ $in R^{n}$ ，对任意实数 $heta$ ， $0leqslant hetaleqslant 1$ ，显然有
$heta x+(1- heta )yin R^{n}$

这一结论表明，如果一个优化问题不带约束，那么该优化问题的变量可行域是凸集。
- 在 $n$ 维实仿射子空间 $R^{n}$
$left { xin R^{n}|Ax=b ight }$

中，假设 $x$ 、 $y$ $in R^{n}$ ，对任意实数 $heta$ ， $0leqslant hetaleqslant 1$ ，有

$A( heta x+(1- heta )y)= heta b+(1- heta )b=b$

即 $heta x+(1- heta )yin R^{n}$ ，这一结论表明：若优化问题中的约束是一组等式约束，那么它们确定的可行域是凸集。
- 在 $n$ 维实向量空间中，多面体空间 $R^{n}$ 定义为
$left { xin R^{n}|Axleqslant b ight }$

在多面体空间 $R^{n}$ 中，假设 $x$ 、 $y$ $in R^{n}$ ，对任意实数 $heta$ ， $0leqslant hetaleqslant 1$ ，有

$A( heta x+(1- heta )y)leq heta b+(1- heta )b=b$

  即 $heta x+(1- heta )yin R^{n}$ ，这一结论表明：若优化问题中的约束是一组线性不等式约束，那么它们确定的可行域是凸集。

最后，还有一个重要的结论是，多个凸集的交集仍然是凸集。

1.2 凸函数

对于函数 $f(x)$ ，如果其定义域内的任意两个点 $x$ 、 $y$ 满足

$f( heta x+(1- heta )y)leqslant heta f(x)+(1- heta )f(y)$

则函数 $f(x)$ 成为凸函数，在二维空间中我们映像最深的凸函数就是下面这种情况了



在多维空间中，如何判断一个函数是否为凸函数，需要依据其Hessian矩阵判断。

在一个优化问题中，若目标函数是凸函数，变量可行域是凸集，那么该优化问题就称为凸优化问题。通过以上对凸集及凸函数的定义，我们可以将单变量的凸优化问题用以下表达式描述，多变量的凸优化问题也类似

目标： $min : : f(x)$

约束： $g_{i}(x)leqslant 0,i=1,2,...,m$

   $h_{i}(x)= 0,i=1,2,...,p$

在凸优化问题中，局部最优值即是全局最优值。

2.拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法用于求解带约束的优化问题，我们先从带等式约束的情况着手，一步步分析到带不等式约束的情况。

2.1 等式约束

现假设有函数 $f(x,y)$ ，带约束的优化目标为

   $min : : f(x,y)$

   $s.t. h(x,y)=0$

函数 $f(x,y)$ 、 $h(x,y)$ 投影在 $XOY$ 平面上的等值线 $f(x)$ 、 $h(x)$ 如下图所示



图中带箭头的线条表示曲线在该点处的梯度方向。从上图中可以看到，只有约束曲线 $h(x)$ 与等值线 $f(x)$ 相切的地方，目标函数 $f(x,y)$ 才有局部极值，因为在 $h(x)$ 曲线与等值线不相切处(即交点处)，变量 $x$ 沿 $h(x)$ 曲线移动时 $f(x)$ 会增大或者减小， $f(x,y)$ 无法得到局部极值。因此，在计算 $f(x,y)$ 最小值时，首先应该计算出所有满足约束的极值点，然后在这些极值点中找出最小值。

现在观察一下等值线 $f(x)$ 与 $h(x)$ 曲线相切时的特征，在二维空间中，梯度与切线方向垂直（在多维空间中，梯度与切点处切超平面垂直），也就是说 $f(x)$ 、 $h(x)$ 在切点处的梯度共线(这里不能说反向，尽管上图中显示的是反向)，因此在切点处有

$igtriangledown f(x,y)=uigtriangledown h(x,y)$ (1)

$igtriangledown$ 为梯度， $u$ 为任意实数，依据梯度的计算方式，式(1)等价于

$frac{partial f(x,y)}{partial x}=u frac{partial h(x,y)}{partial x}$ (2)

$frac{ partial f(x,y) }{partial y}=u frac{ partial h(x,y) }{ partial y}$ (3)

$partial$ 为偏导数计算符号，这样在求解极值点时，联立式(2)、式(3)和 $h(x,y)=0$ 计算即可。为了方便，构造函数 $F(x,y,u)$

$F(x,y,u)=f(x,y)+uh(x,y)$

$s.t. \, \, h(x,y)=0$

求极值时直接求 $F(x,y,u)$ 对 $x$ 、 $y$ 、 $u$ 的偏导数，并令其为0即可，结果和上面过程一样，这种方法就是等式约束下的拉格朗日乘子法。

在多个等式约束情况下，也是一样的做法，构造函数 $F(x,y,u_{1},...,u_{k})$ ，然后求解 $F(x,y,u_{1},...,u_{k})$ 对 $x$ 、 $y$ 、 $u_{i}$ 的偏导数并令其为0

$F(x,y,u_{1},...,u_{k})=f(x,y)+sum_{i=1}^{k}u_{i}h_{i}(x,y)$

$s.t. \, \, h_{i}(x,y)=0\, \, ,i=1,...,k$

  2.2 不等式约束

针对2.1节中的优化问题，现增加一个不等式约束

$min : : f(x,y)$

$s.t. \, \, h(x,y)=0$

$g(x,y)leq 0$

在带不等式约束的优化问题中，我们还是要采用先找出局部极值，然后通过比较极值的方式找出最小值，如果局部极值存在，那么只可能有两种情况，一种情况是局部极值点在 $g(x,y)= 0$ 的边界上，另外一种是时局部极值点在 $g(x,y)< 0$ 的区域内。我们先将函数 $f(x,y)$ 、 $h(x,y)$ 、 $g(x,y)$ 投影到 $XOY$ 平面上，点 $x^{*}$ 为曲线 $h(x)$ 与等值线 $f(x)$ 的切点。

第一种情况如下图所示

此时不等式约束成为了等式约束，在2.1节中的约束问题中，因为等式约束的原因无法施加更多的约束，只能要求目标函数 $f(x,y)$ 与约束函数 $h(x,y)$ 在切点处的梯度共线，而在不等式约束中，尽管切点位于约束区域的边界上，但仍能将约束条件加强，我们知道梯度是数值增大最快的方向，函数 $g(x)$ 在切点 $x^{*}$ 处的梯度肯定不是指向可行域 $g(x)<0$ 的，因为这会使 $g(x)$ 的值减小，而我们的目标是极小值优化问题，切点 $x^{*}$ 处是一个极小值点，因此在可行域内越靠近切点 $x^{*}$ ， $f(x)$ 的值越小，所以函数 $f(x)$ 在切点 $x^{*}$ 处的梯度方向应该是指向 $g(x)<0$ 区域的，因此函数 $f(x)$ 、 $g(x)$ 在切点 $x^{*}$ 处的梯度方向相反，这样我们可以利用拉格朗日乘子法构建函数 $F(x,y,u,lambda )$

   $F(x,y,u,lambda )=f(x,y)+uh(x,y)+lambda g(x,y)$

极值点一定满足如下条件

$igtriangledown f(x,y)+uigtriangledown h(x,y)+lambda igtriangledown g(x,y)=0$

$h(x,y)=0$

$g(x,y)=0$

$lambda >0$

第二种情况，切点 $x^{*}$ 不在 $g(x)leq 0$ 区域的边界上，满足 $g(x^{*})<0$

这种情况下在切点处的不等式约束相当于不存在，我们可以构建函数 $F(x,y,u,lambda )$ 为

   $F(x,y,u,lambda )=f(x,y)+uh(x,y)+lambda g(x,y)$

极值点一定满足如下条件

$igtriangledown f(x,y)+uigtriangledown h(x,y)+lambda igtriangledown g(x,y)=0$

$h(x,y)=0$

   $g(x,y)<0$

   $lambda =0$

结合以上两种情况，我们可以利用拉格朗日乘子法构造如下函数

$F(x,y,u_{1},...,u_{m},lambda_{1},...,lambda_{n} )=f(x,y)+sum_{i=1}^{m}u_{i}h_{i}(x,y)+sum_{j=1}^{n}lambda _{j}g_{j}(x,y)$

该函数的极值点满足

   $s.t. \, \, igtriangledown f(x,y)+uigtriangledown h(x,y)+lambda igtriangledown g(x,y)=0$

$h_{i}(x,y)=0\, \, ,i=1,...,m$

$g_{j}(x,y)leq 0\, \, ,i=1,...,n$

$lambda_{j}geq 0 \, \, ,i=1,...,n$

$lambda _{j}g_{j}(x,y)= 0\, \, ,i=1,...,n$

3.KKT条件与对偶问题

第2节中最终总结出了极值点需满足的条件，这样一组约束条件即称为KKT条件，它是优化问题中获取极值点的必要条件。当然，在实际中并不是所有情况下极值点一定满足KKT条件，解出的极值点还是要代入目标函数中检查，要想一个优化问题的极值点满足KKT条件还需要一些规范性条件，我这里不在此列出这些规范性条件了(可以在文章推荐的文章中学习)。依据以上KKT条件，我们就可以求解优化问题了，但一般直接求解这组方程是比较困难的，为了更好的解决这个优化问题，数学家还找到了它的对偶问题，当对偶问题比较容易求解时，我们可以通过求解对偶问题来间接的求解原优化问题，我们还是以单个等式约束、不等式约束问题为例来说明其对偶问题。

利用拉格朗日乘子法构建以下函数及约束条件

$F(x,y,u,lambda )=f(x,y)+uh(x,y)+lambda g(x,y)$

   $s.t. \, \, h(x,y)=0$

$g(x,y)leq 0$

   $lambdageq 0$

   $lambda g(x,y)= 0$

我们先来看一下 $max\, \, F(x,y,u,lambda )$ ，约束范围内的点满足 $h(x,y)=0$ 、 $lambda g(x,y)= 0$ ，所以可以得到

   $max\, \, F(x,y,u,lambda )=f(x,y)$

不在约束范围内的点，可以调整 $lambda$ 和 $u$ 的值使用 $F(x,y,u,lambda )$ 取到无穷大

$max\, \, F(x,y,u,lambda )=infty$

此时求解 $max\, \, F(x,y,u,lambda )$ 是没什么意义的。现在我们只考虑满足约束的点，那么原优化问题 $min : : f(x,y)$ 可以表达成

   $underset{x,y}{min} \, \,underset{lambda ,u}{max}\, \, F(x,y,u,lambda )$ (4)

该问题的对偶问题即为

      $underset{lambda ,u}{max} \, \,underset{x,y}{min}\, \, F(x,y,u,lambda )$ (5)

我们有

   $underset{x,y}{min} \, \,underset{lambda ,u}{max}\, \, F(x,y,u,lambda )geq underset{lambda ,u}{max} \, \,underset{x,y}{min}\, \, F(x,y,u,lambda )$

在很多文章中都说 “ 最大值中的最小值比最小值中的最大值大是很显然 ”，这样的理解在多变量函数中理解起来有点费劲，不过也暂时只能先这样理解了。求解公式(5)得到的解并不一定是公式(4)中的最优解，那么我们自然就会问，在什么条件下，公式(5)与公式(4)表示的问题是等价的呢？在上面说到的满足KKT条件所需的一些规范性条件中，有一个条件称为 $Slater$ 条件，满足 $Slater$ 条件的约束问题具有强对偶性质，公式(5)与公式(4)中的解是等价的。 $Slater$ 条件表述为：如果优化问题是个凸优化问题，且至少存在一个点满足 $h(x,y)=0$ 和 $g(x,y)=0$ ，则极值一定满足 KKT 条件，并且满足强对偶性质。

本篇文章到这里为止，已经将准备知识说完了，接下来我们着手处理一下上一篇遗留的优化问题。

4.构建SVM超平面时的优化问题

上一篇中最后的优化问题为

    $max frac{1}{left | w ight |},: s.t. : : y_{i}(w^{T}x_{i}+b)geq 1,i=1,...,k$

我们将其转化为

    $min \, \, frac{1}{2}w^{2}$

      $s.t. : : 1-y_{i}(w^{T}x_{i}+b)leq 0,i=1,...,k$

这是等价的，目标函数显然是一个我们熟知凸函数，约束条件定义的可行域也是上文中所说的凸集，所以这是一个凸优化问题。先利用拉格朗日乘子法构建如下函数

$F(w,b,lambda _{1},...,lambda _{k})=frac{1}{2}w^{2}+sum_{i=1}^{k}lambda _{i}left [ 1-y_{i}(w^{T}x_{i}+b) ight ]$

$s.t. : : 1-y_{i}(w^{T}x_{i}+b)leq 0,i=1,...,n$

$lambda _{i}geq 0\, \, ,i=1,...,k$

我们的优化目标可以表达如下

$underset{w,b}{min}\, \, underset{lambda_{i} }{max}\, \, frac{1}{2}w^{2}+sum_{i=1}^{k}lambda _{i}left [ 1-y_{i}(w^{T}x_{i}+b) ight ]$

   $s.t. : : 1-y_{i}(w^{T}x_{i}+b)leq 0,i=1,...,n$

$lambda _{i}geq 0\, \, ,i=1,...,k$

其对偶问题为

$underset{lambda _{i}}{max}\, \, underset{w,b }{min}\, \, frac{1}{2}w^{2}+sum_{i=1}^{k}lambda _{i}left [ 1-y_{i}(w^{T}x_{i}+b) ight ]$ (6)

   $s.t. : : 1-y_{i}(w^{T}x_{i}+b)leq 0,i=1,...,n$

$lambda _{i}geq 0\, \, ,i=1,...,k$

很明显，支持向量上的点满足 $1-y(w^{T}x+b)= 0$ ，因此优化问题满足 $Slater$ 条件，因此其对偶问题的解等价于原问题的解，这样我们可以直接求解其对偶问题的最优解。

求取 $F(w,b,lambda _{1},...,lambda _{k})$ 对 $w$ 、 $b$ 的偏导数，并令其为0，得到

   $frac{partial F(w,b,lambda _{1},...,lambda _{k})}{partial w}=w-sum_{i=1}^{k}lambda _{i}x_{i}y_{i}=0$

   $frac{partial F(w,b,lambda _{1},...,lambda _{k})}{partial b}=sum_{i=1}^{k}lambda _{i}y_{i}=0$

将计算的结果代入公式(6)中，得到

$underset{lambda _{i}}{max}\, \, sum_{i=1}^{k}lambda _{i}-frac{1}{2}sum_{i=1}^{k}lambda _{i}lambda _{j}y_{i}y_{j}x_{i}x_{j}$

利用一些数值计算软件，在训练数据集上就可以计算出结果满足最优结果的 $lambda _{1},...,lambda _{k}$ 值了，继而求解出 $w$ 、 $b$ 。也有一些算法能快速计算出结果，这个我们后面再介绍，完全线性可分情况下的支持向量机构建到这里也就完成了。事实上，并不是所有的 $lambda$ 值均非0，只有支持向量机上的点其对应的 $lambda$ 值才非0，这和不等式约束中的第一种情况一致。

5.小结

本篇博客中首先介绍了构建SVM时涉及的数值优化计算过程的背景知识，但是我没有很详细的介绍，只是介绍了一些必须的部分，感兴趣的同学可以自己再去多了解一些。本系列的前两篇介绍的是在数据完全线性可分情况下SVM的构建，但数据完全线性可分的情况毕竟很少，因此这样构建的SVM模型分类效果并不好，下一篇开始将进一步介绍数据不完全线性可分情况下SVM的构建。
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