一、 实验题目
设有n位选手参加网球循环赛，循环赛共进行n-1天，每位选手要与其他n-1位选手比赛一场，且每位选手每天必须比赛一场，不能轮空。试按此要求为比赛安排日程。
二、实验目的
1．深刻理解并掌握“分治算法”的设计思想；
2．提高应用“分治算法”设计技能；
3．理解这样一个观点：用递归方法编写的问题解决程序具有结构清晰，可读性强等优点，且递归算法的设计比非递归算法的设计往往要容易一些，所以当问题本身是递归定义的，或者问题所涉及到的数据结构是递归定义的，或者是问题的解决方法是递归形式的时候，往往采用递归算法来解决。
三、实验要求
1．实现《网球循环赛》问题的分治算法，并进行算法时间复杂性分析。
2．对实现的分治算法进行改进；
3．对上述改进后算法进行时间复杂性分析，通过实验结果分析对比，得出自己的结论和总结。
四、实验过程
1、算法一：
#include<stdio.h>
#define N 64
void GameTable(int k,int a[][N])
{
//n=2^k(k>=1)个选手参加比赛，二维数组a表示日程安排，数组下标从1开始
int n=2;//k=0,两个选手比赛日程可直接求得
//求解两个选手比赛日程，得到左上角元素
a[1][1]=1;a[1][2]=2;
a[2][1]=2;a[2][2]=1;
int i,j,t;
for(t=1;t<k;t++)//迭代处理，依次处理2^2,....,2^k个选手比赛日程
{
int temp=n;n=n*2;
//填左下角元素
for(i=temp+1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=temp;j++)
a[i][j]=a[i-temp][j]+temp;//左下角元素和左上角元素的对应关系
//将左下角元素抄到右上角
for(i=1;i<=temp;i++)
for(j=temp+1;j<=n;j++)
a[i][j]=a[i+temp][(j+temp)%n];
//将左上角元素抄到右下角
for(i=temp+1;i<=n;i++)
for(j=temp+1;j<=n;j++)
a[i][j]=a[i-temp][j-temp];
}
for(i=1;i<=n;i++)//显示日程表
for(j=1;j<=n;j++)
{
printf("- ",a[i][j]);
if(j==n)
printf("n");
}
}
void main()
{
int a[N][N];
int k;
printf("输入选手的个数：(注意为2的平方)");
scanf("%d",&k);
GameTable(k,a);
}
2、结果验证
当两个选手，即k=1时
当4个选手时，即k=2
当8个选手，即k=3
当16个选手时，即k=16
时间复杂度分析：
迭代处理的循环体内部3个循环语句，每个循环语句都是一个嵌套的for循环，且它们的执行次数相同，基本语句是最内层循环体的赋值语句，即填写比赛日程表的元素。基本执行语句的执行次数是：
T(n)=
所以时间复杂度为O(4k)
改进的算法：
#include<iostream>
using namespace std;
const int SIZE = 50;
int a[SIZE][SIZE];
void copy(int n);
void tournament(int n);
int odd(int n); //判断奇偶性
void makecopy(int n); //makecopy 与copy算法类似，但是区分了n/2为奇数或偶数的情形
void copyodd(int n); // 实现n/2为奇数时的复制
void main()
{
int n;
int i,j;
cin >> n;
tournament(n);
if(odd(n)) // n为奇数和偶数输出情况不同，要分别考虑
{
for(i = 1; i<=n; i++)
{
for(j = 1; j<=n+1; j++)
if(a[i][j] == n+1)
cout << "0 ";
else
cout << a[i][j] << " " ;
cout << endl;
}
}
else
{
for(i = 1; i<=n; i++)
{
for(j = 1; j<=n; j++)
cout << a[i][j] << " " ;
cout << endl;
}
}
}
void copy(int n)
{
int m = n/2;
for(int i = 1; i<=m; i++)
for(int j = 1; j<=m; j++)
{
a[i][j+m] = a[i][j] + m;
a[i+m][j] = a[i][j+m];
a[i+m][j+m] = a[i][j];
}
}
void tournament(int n)
{
if(n == 1)
{
a[1][1] = 1;
return;
}
if(odd(n))
{
tournament(n+1);
return;
}
tournament(n/2);
makecopy(n);
}
int odd(int n)
{
if(n%2==1)
return 1;
else return 0;
}
void makecopy(int n) //makecopy 与copy算法类似，但是要区分n/2为奇数或偶数的情形
{
if(n/2 > 1 && odd(n/2))
copyodd(n);
else
copy(n);
}
void copyodd(int n) // 实现n/2为奇数时的复制
{
int b[SIZE];
int m = n/2;
for(int i = 1; i<=m; i++)
{
b[i] = m+i;
b[m+i] = b[i];
}
for(i = 1; i<=m; i++)
{
for(int j=1; j<=m+1; j++)
{
if(a[i][j] > m)
{
a[i][j] = b[i];
a[m+i][j] = (b[i] + m)%n;
}
else
a[m+i][j] = a[i][j] + m;
}
for(j = 2; j<=m; j++)
{
a[i][m+j] = b[i+j-1];
a[b[i+j-1]][m+j] = i;
}
}
}
结果验证：
当参赛人数为偶数 8时
当参赛人数为奇数 7时
时间复杂度：O(4k)
下面是一个N=8的计算过程，可以帮助理解
问题描述：
设有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：
(1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
(2)每个选手一天只能参赛一次；
(3)循环赛在n-1天内结束。
请按此要求将比赛日程表设计成有n行和n-1列的一个表。在表中的第i行，第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。其中1≤i≤n，1≤j≤n-1。8个选手的比赛日程表如下图：
算法思路：按分治策略，我们可以将所有的选手分为两半，则n个选手的比赛日程表可以通过n/2个选手的比赛日程表来决定。递归地用这种一分为二的策略对选手进行划分，直到只剩下两个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这两个选手进行比赛就可以了。如上图，所列出的正方形表是8个选手的比赛日程表。其中左上角与左下角的两小块分别为选手1至选手4和选手5至选手8前3天的比赛日程。据此，将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角，又将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角，这样我们就分别安排好了选手1至选手4和选手5至选手8在后4天的比赛日程。依此思想容易将这个比赛日程表推广到具有任意多个选手的情形。
算法步骤：
(1)用一个for循环输出日程表的第一行 for(int i=1;i<=N;i++) a[1][i] = i
(2)然后定义一个m值，m初始化为1，m用来控制每一次填充表格时i（i表示行）和j（j表示列）的起始填充位置。
(3)用一个for循环将问题分成几部分，对于k=3，n=8，将问题分成3大部分，第一部分为，根据已经填充的第一行，填写第二行，第二部分为，根据已经填充好的第一部分，填写第三四行，第三部分为，根据已经填充好的前四行，填写最后四行。for (ints=1;s<=k;s++) N/=2;
(4)用一个for循环对③中提到的每一部分进行划分for(intt=1;t<=N;t++)对于第一部分，将其划分为四个小的单元，即对第二行进行如下划分
同理，对第二部分（即三四行），划分为两部分，第三部分同理。
(5)最后，根据以上for循环对整体的划分和分治法的思想，进行每一个单元格的填充。填充原则是：对角线填充
for(int i=m+1;i<=2*m;i++) //i控制行
for(int j=m+1;j<=2*m;j++) //j控制列
{
a[i][j+(t-1)*m*2]= a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];/*右下角的值等于左上角的值 */
a[i][j+(t-1)*m*2-m] =a[i-m][j+(t-1)*m*2];/*左下角的值等于右上角的值 */
}
运行过程：
(1)由初始化的第一行填充第二行
(2)由s控制的第一部分填完。然后是s++，进行第二部分的填充
(3)最后是第三部分的填充
程序清单：
- //2d11 分治法，循环赛事日程表
- #include "stdafx.h"
- #include <iostream>
- #include <math.h>
- using namespace std;
- void Table(int k,int n,int **a);
- void input(int &k);
- void output(int **a,int n);
- int main()
- {
- int k;
- input(k);
- int n=1;
- //n=2k(k>=1)个选手参加比赛
- for(int i=1; i<=k; i++)
- n *= 2;
- //根据n动态分配二维数组a
- int **a = new int *[n+1];
- for(int i=0;i<=n;i++)
- {
- a[i] = new int[n+1];
- }
- Table(k,n,a);
- cout<<"循环赛事日程表为："<<endl;
- output(a,n);
- //释放空间
- for(int i=0;i<=n;i++)
- {
- delete[] a[i];
- }
- delete[] a;
- return 0;
- }
- void input(int &k)
- {
- cout<<"请输入k值："<<endl;
- cin>>k;
- }
- void output(int **a,int n)
- {
- for(int i=1; i<=n; i++)
- {
- for(int j=1; j<=n; j++)
- {
- cout<<a[i][j]<<" ";
- }
- cout<<endl;
- }
- }
- void Table(int k,int n,int **a)
- {
- for(int i=1; i<=n; i++)
- a[1][i]=i;//设置日程表第一行
- int m = 1;//每次填充时，起始填充位置
- for(int s=1; s<=k; s++)
- {
- n /= 2;
- for(int t=1; t<=n; t++)
- {
- for(int i=m+1; i<=2*m; i++)//控制行
- {
- for(int j=m+1; j<=2*m; j++)//控制列
- {
- a[i][j+(t-1)*m*2] = a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];//右下角等于左上角的值
- a[i][j+(t-1)*m*2-m] = a[i-m][j+(t-1)*m*2];//左下角等于右上角的值
- }
- }
- }
- m *= 2;
- }
- }
程序运行结果：
