[HNOI2002]跳蚤

题目描述

Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。

比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。

当确定N和M后，显然一共有MN张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

输入输出格式

输入格式：

输入文件有且仅有一行，包括用空格分开的两个整数N和M。

输出格式：

输出文件有且仅有一行，即可以完成任务的卡片数。

1≤M≤108，1≤N≤M，且MN≤1016。

输入输出样例

输入样例#1：

2  4

输出样例#1：

12

说明

这12张卡片分别是：

(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),

(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)

题解：

一张可行的卡片，就是将上面的数字经过加减变换能够得到1，于是我们可以猜想一下卡片上的数字所需满足的要求。首先很容易猜到，这些数字必然有奇数有偶数，但是仅满足这个条件是显然不够的，

如3,6就无法得出1来，于是可以继续猜想这些数字两两互质，即所有数字的公因数为1，用数论的方法可以证明这个猜想是正确的。然后可以用容斥原理来算出答案，这里举个例子来说明，假设m=30=2*3*5,

答案=m^n-(有公因数2的n元组)-(有公因数3的n元组)-(有公因数5的n元组)+(有公因数2,3的n元组)+(有公因数2,5的n元组)+(有公因数3,5的n元组)-(有公因数2,3,5的n元组)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long lol;
lol n,m,ans,cnt,p[100001];
lol qpow(lol a,lol b)
{
    lol ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void make(lol m)
{
    for(int i=2;i*i<=m;i++)
    {
        if(m%i==0)
        {
            p[++cnt]=i;
            while(m%i==0)m/=i;
        }
    }
    if(m-1)p[++cnt]=m;
}
bool b[100001];
void dfs(lol x,lol a,lol k)
{
    lol tot=0;
    if(x)
    {
        tot=pow(m/a,n);
        if(x&1)ans-=tot;
        else ans+=tot;
    }
    for(int i=k+1;i<=cnt;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            b[i]=1;
            dfs(x+1,a*p[i],i);
            b[i]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    lol i,j;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ans=qpow(m,n);
    make(m);
    dfs(0,1,0);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}