[原]《Thinking In Algorithm》11.堆结构之二叉堆

之前有篇博客（操作系统中堆和栈的区别）讲的是操作系统中的堆，顺带提了下数据结构中的堆。觉得比较简单就没详细讲解，不过这几天看排序算法看到堆排序时，感觉对堆都不怎么熟悉，有些细节问题没注意到。所以说不要小看任何一个知识点。而且经过细看才发现堆其实有很多精妙之处，怪不得很多算法都靠它来实现，如堆排序，Dijkstra算法。

而且堆有许多变体，如二叉堆，二项堆，斐波那契堆。这些我在之后的博客中会一次讲到。

首先我们来简单介绍下最原始的堆。

堆的定义：a heap is a specialized tree-based data structure that satisfies the heap property: If A is a parent node of B then the key of node A is ordered with respect to the key of node B with the same ordering applying across the heap. 

1. 什么是二叉堆？

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一句话概括：二叉堆就是一种满足堆的两个特性的一颗完全二叉树。也叫优先队列

那么是满足哪两个呢？

1. 树是一颗完全二叉树。（除了最后一层可能不饱和，其他都饱和，且最后一层节点是从左往右排满）
2. 父节点要小于等于或者大于等于子节点（根据堆的定义来确定是大于等于还是小于等于）

父节点比子节点大的称为最大堆：

Example of a complete binary max heap

父节点比子节点小的为最小堆：

Example of a complete binary min heap

2. 二叉堆操作

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下面是各种操作的时间复杂度和空间（树的高度为O(logN),基本操作与树的高度成正比）

Binary Heap
Type	Tree
Time complexity in big O notation
	Average	Worst case
Space	O(n)	O(n)
Search	Not supported	Not supported
Insert	O(1)	O(log n)
Delete	O(log n)	O(log n)

2.1 插入操作

算法流程：

1. 添加元素到树的最底层。
2. 比较插入元素与其父节点的大小关系是否正确，如果正确，则完成。
3. 如果不正确，则该元素与父节点交换位置，然后回到上一步。

向A中插入元素t的代码：

void Insert(int A[], int n, int t) {
	n++;
	A[n] = t;
	int p = n;
	while(p >1 && A[PARENT(p)] < t){
		A[p] = A[PARENT(p)];
		p = PARENT(p);
	}
	A[p] = t;
	return max;
}

2.2 删除操作

删除树根节点（最小堆得到最小数，最大堆得到最大数）

算法流程：

1. 用最后一个元素填补删除的树根
2. 新树根与他的两个孩子作比较；如果顺序正确，则完成。
3. 不正确，则用孩子中的一个交换该元素，回到上一步。（最小堆中选择更小的孩子，最大堆中选择更大的数）

                          ----->----->

实现的伪代码：

void GetMaximum(int A[], int n)
{
	int max = A[1];
	A[1] = A[n];
	n--;
	Max-Heapify(A, n, 1);
	return max;
}

上面用到的Max-Heapify操作及修复最大堆的性质。

下面是修复最大堆性质的伪代码：（即对变化后的数组A进行调整使其维持最大堆性质）此处的i是从1开始，不同于编程语言中的数组的索引。i即删除元素所在的位置。

Max-Heapify  (A, i):
 left ← 2i
 right ← 2i + 1
 largest ← i
 if left ≤ heap_length[A] and A[left] > A[largest] then:
 largest ← left
 if right ≤ heap_length[A] and A[right] > A[largest] then:
 largest ← right
 if largest ≠ i then:
 swap A[i] ↔ A[largest]
 Max-Heapify(A, largest)

2.3 堆的创建

即将数组A转变为堆，这里我们可以借用前面提到的Max-Heapify(A,i)算法，但我们并不需要对每一个元素都这行Max-Heapify操作，只需要找到最后一个非叶子节点（即第n/2个元素）以及之前的数进行调整。

BUILD-MAX-HEAP(A)
1  heap-size[A] ← length[A]
2  for i ← ⌊length[A]/2⌋ downto 1
3       do MAX-HEAPIFY(A, i)

3. 二叉堆的实现

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堆常常用数组来实现，任何一棵二叉树度可以用数组存，但因为二叉堆是一棵完全二叉树，所以他可以紧密的存储，不需要指针来实现。相反，他的孩子节点和父节点可以用数学式来得到，如下：

对于根节点索引为0的树，i节点的孩子节点分别为2i+1和2i+2，父节点为(i-1)/2

A small complete binary tree stored in an array

Comparison between a binary heap and an array implementation.

题目：输入n个整数，输出其中最小的k个。

例如输入1，2，3，4，5，6，7和8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3和4。

分析：这道题之前我有写过一篇关于这道题的博客（查找最小的k个元素），当时我是用的红黑树的数据结构来解决这道题的，我们都知道找出最小的k个数，我们首先利用一个容器来存储k个元素，然后遍历所有数，如果k个元素中最大数大于此时遍历的数，那么只需要替换掉最大数。当时利用红黑树来存储k个元素.同时我们如果利用最大堆的方法，也同样可以达到这样的效果。我们知道红黑树的操作与其树的高度成正比即O(logk)，同样最大堆的操作也与树的高度成正比。所以两者时间复杂度是一样的。

作者：SpeedMe 发表于2014-4-8 10:51:56 原文链接

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