• 回溯法解决八皇问题


    把八个皇后放在一个8*8的棋盘上面,要求同一行、同一列、同一对角线不能有两个皇后。

    思路:
    关键在于判定两个皇后是否在同一行、同一列或同一对角线上。这里,棋盘下标从1开始算起。
    观察发现:
    若是在同一行,则行号相同;若在同一列,则列号相同;
    若在同一“/”对角线,则行列值之和相同;若是在同一“”对角线,则行列值之差相同。
    考虑到每行仅有一个皇后,设一维数组a[1...8]表示皇后的位置:第i行第j列放置皇后,则a[i]=j,即下标是行数,值是列数。
    判断皇后是否安全,即检查同一列、同一对角线是否已经有皇后。
    建立标志数组b[1...8]能控制同一列只能有一个皇后。

    若两个皇后在同一对角线上,则其行列值之和或差相等,故亦可以建立标志数组c[1...16],d[-7..7]控制同一对角线上只能有一个皇后。(注意:这里的c和d数组是对应主、副各自16条对角线的.)


    若是斜线不分方向,则同一斜线上两个皇后的行号之差的绝对值与列号之差的绝对值相等。

    在这种方式下,要表示两个皇后i和j不在同一列或斜线上的条件可以描述为:(a[i]!=a[j])&&(abs(a[i]-a[j]))
    i和j分别表示两个皇后的行号。

    具体代码如下:

     1 #include <stdio.h>
     2 #include <stdlib.h>
     3 int n;
     4 int sum=0,a[100];//sum表示总的方案数。a[i]=x表示第i行放在x列
     5 int b[100]={0},c[100]={0},d[100]={0};
     6 //b[i]=1表示第i列有皇后。
     7 //c[i]=1表示按从左上到右下顺序的第i条副对角线(“/”对角线)上有皇后
     8 //d[i]=1表示按从右上到左下顺序的第i条主对角线(“”对角线)上有皇后
     9 int search(int i);//递归回溯放置第i个皇后(放在第i行)
    10 void print();      //输出方案
    11 int main()
    12 {
    13     n=8;//皇后问题的阶数(皇后的个数)
    14     search(1);
    15     if(sum==0) printf("no solution!
    ");
    16     return 0;
    17 }
    18 int search(int i)//递归回溯放置第i个皇后(放在第i行)
    19 {
    20     int j;
    21     for(j=1;j<=n;j++)
    22     {
    23         if((!b[j])&&(!c[i+j])&&(!d[i-j+7]))
    24         {
    25             a[i]=j;
    26             b[j]=1; c[i+j]=1; d[i-j+7]=1;
    27             if(i==n) print(); //n个皇后已经放置完成,打印放置的方案
    28             else search(i+1); //继续递归放置下一个皇后
    29             b[j]=0; c[i+j]=0; d[i-j+7]=0;  //恢复现场,当前位置的皇后清除
    30         }
    31     }
    32 }
    33 void print()
    34 {
    35     int i;
    36     sum++;
    37     printf("sum=%d
    ",sum);
    38     for(i=1;i<=n;i++)
    39         printf("%-4d ",a[i]);
    40     printf("
    ");
    41 }

    PS:个人觉得该段代码里面标志数组b、c、d用的非常巧妙。

    上面的代码是多用了两个数组c、d简化了判断。假如只用一个数组b也能够判断皇后会否冲突,只是时间效率降低了很多。代码如下:

     1 #include <stdio.h>
     2 int n;
     3 int sum=0,a[100]; //sum表示总的方案数。a[i]=x表示第i行放在x列
     4 int b[100]={0};   //b[i]=1表示第i列有皇后。
     5 
     6 int search(int i);//递归回溯放置第i个皇后(放在第i行)
     7 void print();      //输出方案
     8 int main()
     9 {
    10     n=8;//皇后问题的阶数(皇后的个数)
    11     search(1);
    12     if(sum==0) printf("no solution!
    ");
    13     return 0;
    14 }
    15 int search(int i)//递归回溯放置第i个皇后(放在第i行)
    16 {
    17     int j,k;
    18     for(j=1;j<=n;j++)
    19     {
    20         if(b[j]==0)
    21         {
    22             for(k=1;k<i;k++)//扫描a[]前i-1项,检查前i-1个皇后会否与第i个皇后冲突 
    23             {
    24                 if(k+a[k]==i+j) break;
    25                 else if(k-a[k]==i-j) break;
    26             }
    27             if(k==i)//前i-1个皇后不与第i个皇后冲突
    28             {
    29                 a[i]=j;
    30                 b[j]=1;
    31                 if(i==n) print(); //n个皇后已经放置完成,打印放置的方案
    32                 else search(i+1); //继续递归放置下一个皇后
    33                 b[j]=0; //恢复现场,当前位置的皇后清除
    34             }
    35         }
    36     }
    37 }
    38 void print()
    39 {
    40     int i;
    41     sum++;
    42     printf("sum=%d
    ",sum);
    43     for(i=1;i<=n;i++)
    44         printf("%-4d ",a[i]);
    45     printf("
    ");
    46 }
    View Code

     输出二维数组结果:

     1 #include<stdio.h>
     2 #include<stdlib.h>
     3 #include<string.h>
     4 int n;
     5 int sum=0,a[100];//sum表示总的方案数。a[i]=x表示第i行放在x列
     6 int b[100]={0},c[100]={0},d[100]={0};
     7 //b[i]=1表示第i列有皇后。
     8 //c[i]=1表示按从左上到右下顺序的第i条副对角线(“/”对角线)上有皇后
     9 //d[i]=1表示按从右上到左下顺序的第i条主对角线(“”对角线)上有皇后
    10 
    11 int search(int i);//递归回溯放置第i个皇后(放在第i行)
    12 void print();      //输出方案
    13 int main()
    14 {
    15     n=8;//皇后问题的阶数(皇后的个数)
    16     search(1);
    17     if(sum==0) printf("no solution!
    ");
    18     return 0;
    19 }
    20 int search(int i)//递归回溯放置第i个皇后(放在第i行)
    21 {
    22     int j;
    23     for(j=1;j<=n;j++)
    24     {
    25         if((!b[j])&&(!c[i+j])&&(!d[i-j+7]))
    26         {
    27             a[i]=j;
    28             b[j]=1; c[i+j]=1; d[i-j+7]=1;
    29             if(i==n) print(); //n个皇后已经放置完成,打印放置的方案
    30             else search(i+1); //继续递归放置下一个皇后
    31             b[j]=0; c[i+j]=0; d[i-j+7]=0;  //恢复现场,当前位置的皇后清除
    32         }
    33     }
    34 }
    35 void print()
    36 {
    37     int i,j;
    38     int t[101][101]={0};
    39     sum++;
    40     printf("No. %d
    ",sum);
    41     for(i=1;i<=n;i++)
    42         printf("%-4d ",a[i]);
    43         //t[i][a[i]]=1;
    44     /*for(i=1;i<=n;i++)
    45     {
    46         for(j=1;j<=n;j++)
    47             printf("%d ",t[i][j]);
    48            printf("
    ");
    49     }*/
    50     printf("
    ");
    51 }
    View Code
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