洛谷P1368 均分纸牌（加强版） [2017年6月计划 数论14]

P1368 均分纸牌（加强版）

题目描述

有 N 堆纸牌，编号分别为 1，2，…, N。每堆上有若干张，纸牌总数必为 N 的倍数。可以在任一堆上取1张纸牌，然后移动。

移牌规则为：在编号为 1 堆上取的纸牌，能移到编号为 2和N 的堆上；在编号为 N 的堆上取的纸牌，能移到编号为 N-1和1 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。

现在要求找出一种移动方法，使每堆上纸牌数都一样多且牌的移动次数尽量少。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数n

第二行为n个空格分开的正整数，为n堆纸牌的牌数。

输出格式：

只有一个数，为最少的移动次数。

输入输出样例

输入样例#1：

4
1 2 5 4

输出样例#1：

4

说明

对样例的说明：

①第4堆移动1张牌至第1堆

②第3堆移动1张牌至第2堆

③第3堆移动1张牌至第2堆

④第2堆移动1张牌至第1堆

此时移动次数为4最小

【数据范围】

对于40%的数据，n<=10000

对于100%的数据，n<=1000000，所有纸牌数总和在2147483647内

设平均数为xba

不妨设a1给了an  x1  张纸牌（k可正可负），a2给了a1  x2张纸牌， a3给了a2  x3 张纸牌……an给了a(n - 1)  xn张纸牌，不难发现以下方程：

xba = a1 - x1 + x2

xba = a2 - x2 + x3

xba = a3 - x3 + x4

xba = a4 - x4 + x5

......

xba = a(n - 1) - x(n - 1) + xn

xba = an - xn + x1

把他们全部相加，不难发现

nxba = a1 + a2 + a3 + .... + an

得到0 = 0

毫无用处。

我们考虑最终结果，应该是

|x1| + |x2| + |x3| + .... + |xn|

换元法，得到

ans  =  |x1| + |xba - a1 + x1| + |2xba -a1 - a2 + x1| + |3xba -a1 - a2 - a3 + x1| + ..... + |(n - 1)xba - Σai,i <= n - 1|转换为一次函数带绝对值的最值问题

数形结合思想，看做是数轴上点的距离。这些点是k * xba - Σai,i <= k

k应为k * xba - Σai,i <= k中的中位数

对于任意数x， x的左边就有m1个点，右边也有m2个点

x向左移动n个单位长度时，它与其他各点距离和变化为：-m1 * n + m2 * n = n(m2 - m1)

x向右移动n个单位长度时，它与其他各点距离和变化为：m1 * n - m2 * n = n(m2 - m1)

当m1 = m2时，距离和变化为0

我们看x在中位数左边一点及其以左时(m2 - m1 > 0)，移动到x在中位数位置的偏移值大于零

x在中位数右边一点及其以右时(m1 - m2 > 0)，移动到于x在中位数位置的偏移值大于零

因此中位数时距离和最小。

证毕

#include <bits/stdc++.h>
inline void read(long long &x){x = 0;char ch = getchar();char c = ch;while(ch > '9' || ch < '0')c = ch, ch = getchar();while(ch <= '9' && ch >= '0')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();if(c == '-')x = -x;}
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1000000 + 10;

long long n,num[MAXN],sum,f[MAXN],xba;
long long k,ans;

int main()
{
    read(n);
    for(register long long i = 1;i <= n;++ i)
    {
        read(num[i]);
        sum += num[i];
    }
    xba = sum / n;
    f[1] = 0;
    for(register long long i = 2;i <= n;++ i)
    {
        f[i] = f[i - 1] + xba - num[i - 1]; 
    }
    std::sort(f + 1, f + 1 + n);
    k = f[n/2 + 1];
    for(long long i = 1;i <= n;i ++)
    {
        ans += abs(k - f[i]);
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}