hdu5824 graph

传送门

题意：定义一个无向图的权值为图中形为树的连通块数量的$k$次方，求所有$n$个点有标号的简单无向图的权值之和。

这个题还是很妙的啊……(好吧，其实只有最后的复合函数求导比较有意思……)

先套路一发，定义答案的$EGF$为$F(x)$一棵树的$EGF$为$T(x)$，每个连通块都不是树的$EGF$为$G(x)$，强制连通的无向图的$EGF$为$H(x)$，显然有

egin{align}F(x)=left(sum_{ige 0}frac{i^k T(x)^i}{i!} ight)G(x)end{align}

意思就是枚举树的数量，统计数量之后乘上贡献，左边要除以$i!$是为了去重(因为几个树组成的图是集合，不是序列，元素没有顺序)。

根据一些简单的知识不难得到以下结论：

$[x^n]T(x)=n^{n-2}$

$G(x)=exp(H(x)-T(x))$(因为每个连通块都不能是树，那么我们用连通图个数减掉树的个数，再用这个东西搞一个集合即可，不难发现就是对一个连通块的$EGF$做一下$exp$的结果。)

$H(x)$可以跑多项式$ln$之类的东西得到(参见城市规划的做法)，那么后面的$G(x)$就好算了，然后再解决前面的那个东西就可以$O(n)$得出最后的答案了(因为只要求一项，所以暴力求出卷积的第$n$项即可)。

定义

egin{align}A_k(x)=sum_{ige 0}frac{i^k T(x)^i}{i!}end{align}

注意到$A_k(x)$其实是一个复合函数，那么假设有$f(T)=A_k(x)$，我们可以尝试对$f(T)$求个导，而根据复合函数求导法则($(f(g(x)))’=f’(g(x))g’(x)$)有$[T^i]f’(T)=frac{i^k T(x)^{i-1}T'(x)i}{i!}=T'(x)frac{i^{k+1}T(x)^{i-1}}{i!}$，因此$[T^i]f’(T)=frac{i^k T(x)^{i-1}T'(x)i}{i!}=T'(x)frac{i^{k+1}T(x)^{i-1}}{i!}$。

因为$f(T)$本质就是$A_k(x)$，因此$f’(T)$和$A_k’(x)$是等价的，所以有

egin{align}A_k'(x)=frac{T'(x)}{T(x)}sum_{ige 1}frac{i^{k+1}T(x)^i}{i!}=frac{T'(x)}{T(x)}A_{k+1}(x)end{align}

(注意这里不用处理常数项的问题，因为$k>0$时有$[x^0]A_k(x)=0$)

也就是说$A_{k+1}(x)=A_k'(x)frac{T(x)}{T'(x)}$，那么直接利用这个递推$k$次即可，边界也不难得到：

egin{align}A_0(x)=sum_{ige 0}frac{i^0 T(x)^i}{i!}=exp(T(x))end{align}

然后就可以做了，复杂度$O(knlog n)$，因为$exp$只需要做两次，所以常数还是不大的。

(虽然比起NTT优化DP的做法来说代码长还跑得慢……)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=65550,p=998244353,g=3;
void NTT(int*,int,int);
void getexp(int*,int*,int);
void getln(int*,int*,int);
void getinv(int*,int*,int);
void getderivative(int*,int*,int);
void getintegrate(int*,int*,int);
int qpow(int,int,int);
int n,N=1,k,A[maxn],B[maxn],C[maxn],T[maxn],G[maxn],fac[maxn],fac_inv[maxn],inv[maxn],ans=0;
int main(){
   scanf("%d%d",&n,&k);
   while(N<=n)N<<=1;
   fac[0]=fac_inv[0]=1;
   for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=(long long)fac[i-1]*i%p;
   fac_inv[N-1]=qpow(fac[N-1],p-2,p);
   for(int i=N-2;i;i--)fac_inv[i]=(long long)fac_inv[i+1]*(i+1)%p;
   for(int i=1;i<N;i++)inv[i]=(long long)fac_inv[i]*fac[i-1]%p;
   T[1]=G[0]=1;
   for(int i=2;i<=n;i++)T[i]=(long long)qpow(i,i-2,p)*fac_inv[i]%p;
   for(int i=1;i<=n;i++)G[i]=(long long)qpow(2,(((long long)i*(i-1))>>1)%(p-1),p)*fac_inv[i]%p;
   getln(G,B,N);
   for(int i=0;i<N;i++)B[i]=(B[i]-T[i]+p)%p;
   getexp(B,G,N);
   fill(B,B+(N<<1),0);
   getderivative(T,B,N);
   getinv(B,C,N);
   copy(T,T+N,B);
   NTT(B,N<<1,1);
   NTT(C,N<<1,1);
   for(int i=0;i<(N<<1);i++)C[i]=(long long)B[i]*C[i]%p;
   NTT(C,N<<1,-1);
   fill(C+N,C+(N<<1),0);
   NTT(C,N<<1,1);
   getexp(T,A,N);
   for(int j=1;j<=k;j++){
      fill(B,B+(N<<1),0);
      getderivative(A,B,N);
      NTT(B,N<<1,1);
      for(int i=0;i<(N<<1);i++)B[i]=(long long)B[i]*C[i]%p;
      NTT(B,N<<1,-1);
      copy(B,B+N,A);
   }
   for(int i=0;i<=n;i++)ans=(ans+(long long)A[i]*G[n-i]%p)%p;
   printf("%d",(int)((long long)ans*fac[n]%p));
   return 0;
}
void NTT(int *A,int n,int tp){
   for(int i=1,j=0,k;i<n-1;i++){
      k=n;
      do j^=(k>>=1);while(j<k);
      if(i<j)swap(A[i],A[j]);
   }
   for(int k=2;k<=n;k<<=1){
      int wn=qpow(g,(tp>0?(p-1)/k:(p-1)/k*(long long)(p-2)%(p-1)),p);
      for(int i=0;i<n;i+=k){
        int w=1;
        for(int j=0;j<(k>>1);j++,w=(long long)w*wn%p){
           int a=A[i+j],b=(long long)w*A[i+j+(k>>1)]%p;
           A[i+j]=(a+b)%p;
           A[i+j+(k>>1)]=(a-b+p)%p;
        }
      }
   }
   if(tp<0){
      int inv=qpow(n,p-2,p);
      for(int i=0;i<n;i++)A[i]=(long long)A[i]*inv%p;
   }
}
void getexp(int *A,int *C,int n){
   static int B[maxn];
   fill(C,C+(n<<1),0);
   C[0]=1;
   for(int k=2;k<=n;k<<=1){
      getln(C,B,k);
      for(int i=0;i<k;i++)B[i]=(A[i]-B[i]+p)%p;
      B[0]=(B[0]+1)%p;
      NTT(B,k<<1,1);
      NTT(C,k<<1,1);
      for(int i=0;i<(k<<1);i++)C[i]=(long long)B[i]*C[i]%p;
      NTT(C,k<<1,-1);
      fill(C+k,C+(k<<1),0);
   }
}
void getln(int *A,int *C,int n){
   static int B[maxn];
   getderivative(A,B,n);
   fill(B+n,B+(n<<1),0);
   getinv(A,C,n);
   NTT(B,n<<1,1);
   NTT(C,n<<1,1);
   for(int i=0;i<(n<<1);i++)B[i]=(long long)B[i]*C[i]%p;
   NTT(B,n<<1,-1);
   getintegrate(B,C,n);
   fill(C+n,C+(n<<1),0);
}
void getinv(int *A,int *C,int n){
   static int B[maxn];
   fill(C,C+(n<<1),0);
   C[0]=qpow(A[0],p-2,p);
   for(int k=2;k<=n;k<<=1){
      copy(A,A+k,B);
      fill(B+k,B+(k<<1),0);
      NTT(B,k<<1,1);
      NTT(C,k<<1,1);
     for(int i=0;i<(k<<1);i++)C[i]=C[i]*((2-(long long)C[i]*B[i]%p+p)%p)%p;
      NTT(C,k<<1,-1);
      fill(C+k,C+(k<<1),0);
   }
}
void getderivative(int *A,int *C,int n){
   for(int i=1;i<n;i++)C[i-1]=(long long)A[i]*i%p;
   C[n-1]=0;
}
void getintegrate(int *A,int *C,int n){
   for(int i=1;i<n;i++)C[i]=(long long)A[i-1]*inv[i]%p;
   C[0]=0;
}
int qpow(int a,int b,int p){
   int ans=1;
   for(;b;b>>=1,a=(long long)a*a%p)if(b&1)ans=(long long)ans*a%p;
   return ans;
}

ps：代码里把每次乘的$frac{T(x)}{T’(x)}$算出来之后直接存它的$DFT$了，这样每次乘的时候就只需要对$A_k(x)$做$DFT$和$IDFT$了，可以减小很多常数。

这个题给我的两点启发：

1.看见跟前面那半类似的式子就去试试求导和积分

2.牢记复合函数求导法则(论不学文化课的危害……)