[LeetCode] Palindrome Partitioning II

(Version 1.0)

这道题是在Palindrome Partitioning的基础之上要求找一个最少分割次数的partitioning，因为之前已经做过了Palindrome Partitioning，所以最开始自然想到了用DP记录所有substring是否是palindrome，然后再对每个substring的mincuts用DP方法逐个由短至长求解，但是在LeetCode OJ上面run大数据时会超时，代码如下：

public class Solution {
    public int minCut(String s) {
        boolean[][] isPalindrome = new boolean[s.length()][s.length()];
        int[][] cuts = new int[s.length()][s.length()];
        for (int i = 0; i < isPalindrome.length; i++) {
            isPalindrome[i][i] = true;
        }
        for (int l = 2; l <= s.length(); l++) {
            for (int i = 0; i + l <= s.length(); i++) {
                int j = i + l - 1;
                isPalindrome[i][j] = (isPalindrome[i + 1][j - 1] || l == 2) && s.charAt(i) == s.charAt(j);
                if (!isPalindrome[i][j]) {
                    cuts[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                    for (int k = i; k < j; k++) {
                        cuts[i][j] = Math.min(cuts[i][k] + cuts[k + 1][j] + 1, cuts[i][j]);
                    }
                }
            }
        }
        return cuts[0][s.length() - 1];
    }
}

看来需要对上面的代码进行优化，去除一些无用功。原题要求的是整个string的mincut，所以求起始位置不是最开头的substring的mincut其实对于问题的解决没有帮助，应该是可以省去的无用功，所以一个可能的优化是将最内层计算cuts数组元素的循环从计算isPalindrome数组的循环最内层拿出去。

优化最内层计算的核心思想是只考虑从头开始的substring的mincut，其状态的转移也只取决于所有比其短的从头开始的substring的mincut。也就是说，可以把上文提到的DP解法中的两层循环（实际是三层）减小为一层（实际是两层），因为我们现在只需要考虑起始点为输入string的起始的substring，然后每次循环再向末尾添上一个char就可以了。减少了一个变化的量（起始位置），循环层次也就减少了一层，代码如下：

    // a solution from code ganker
    public int minCut(String s) {
        boolean[][] isPalindrome = new boolean[s.length()][s.length()];
        int[] cuts = new int[s.length() + 1];
        for (int i = 0; i < isPalindrome.length; i++) {
            isPalindrome[i][i] = true;
        }
        for (int l = 2; l <= s.length(); l++) {
            for (int i = 0; i + l <= s.length(); i++) {
                int j = i + l - 1;
                isPalindrome[i][j] = (isPalindrome[i + 1][j - 1] || l == 2) 
                        && s.charAt(i) == s.charAt(j);
            }
        }
        cuts[0] = -1; // pay attention here, cuts[0] must not be 0!
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            cuts[i + 1] = i; // use the fact that the substring of length i + 1 requires at most i cuts
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (isPalindrome[j][i]) { // if s[j:i] is not a palindrome, it doesn't affect the mincut
                    cuts[i + 1] = Math.min(cuts[i + 1], cuts[j] + 1);
                }
            }
        }
        return cuts[s.length()];
    }

这里从code ganker的解法（http://blog.csdn.net/linhuanmars/article/details/22837047）中学到了一个技巧，就是要在初始化DP的数组时充分利用现有问题的本身特性。那么这一题的问题背景有什么特性呢？就是一个string所需要的mincut数最大不超过其长度减一，也就是说，极端情况也就是string中最长的palindrome长度为1，这就是为什么代码中初始化DP数组的元素时要给其初始化为所代表的元素index - 1。DP的状态转移描述如下：cuts[i]已经被初始化为最大的可能cut数，所以接下来要做的其实是尝试减小这个值。什么情况下这个值有可能被减小呢？就是在这个substring的substring中有palindrome时。而在这个一维DP中，我们保存的是从输入string头到某一中间位置的substring的mincut，所以内层循环所需要判断，或者说需要处理的当前子问题，就是判断从没被存储的位置开始到当前substring结束这一部分是不是palindrome。