最长回文子串

有这样一种题，求一个字符串的最长回文子串的长度。

hdu 3608就是求最长回文子串的一道题

有这样几种解法

1.暴力法

枚举所有子串且每次判断该子串是否是回文子串，时间复杂度是n3,理所当然的T掉。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxa = 110000;
char str[maxa];
int main(){
    while(scanf("%s", &str)!=EOF){
        int ans = 0;
        for(int i = 0; str[i]; i++){
            for(int k = i+1; str[k]; k++){
                int ok = 1;
                for(int j = i; j <= (i+k)/2; j++){
                    if(str[j] != str[k-(j-i)]){
                        ok = 0;
                        break;
                    }
                }
                if(ok){
                    ans = max(ans, k-i+1);
                }
            }
        }
        printf("%d
", ans);
    }
}

2.枚举中心法

首先将字符串每个字符的两遍都加上特殊字符，变成新串，例如原串为abab，新串为#a#b#a#b#，然后以每个点为中心，求出以该点为中心的最长回文串的长度，枚举中心的时间复杂度是n，枚举最长长度的时间复杂度是n，总时间复杂度是n2.依旧超时。

/*************************************************************************
    > File Name: hdu3680.cpp
    > Author: ma6174
    > Mail: ma6174@163.com
    > Created Time: Sat 26 Dec 2015 03:35:08 AM PST
 ************************************************************************/
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const int maxa = 111111;
char a[maxa];
char str[maxa*2];
int main(){
    while(scanf("%s", &a)!=EOF){
        int ans = 0;
        for(int i = 0; ; i++){
            if(a[i]){
                str[i*2] = '#';
                str[i*2+1] = a[i];
            }else{
                str[i*2] = '#';
                str[i*2+1] = 0;
                break;
            }
        }
        printf("%s
", str);
        int len = strlen(str);
        for(int i = 0; str[i]; i++){
            for(int j = 0; i-j >= 0 && i+j < len; j++){
                if(str[i-j] == str[i+j]){
                    ans = max(ans, j);
                }else break;
            }
        }
        printf("%d
", ans);
    }
}

3.动态规划

for循环枚举所有子串，当str(i,j)被枚举到的时候，str(i+1,j-1)也一定被枚举到，dp[i][j] =1代表str(i,j)是回文子串，只要str[i] == str[j]并且，dp[i+1][j-1]==1，那么dp[i][j] = 1，时间复杂度为n2，空间复杂度也是n2.

/*************************************************************************
    > File Name: hdu3680.cpp
    > Author: ma6174
    > Mail: ma6174@163.com
    > Created Time: Sat 26 Dec 2015 03:35:08 AM PST
 ************************************************************************/
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const int maxa = 1111;
char str[maxa];
int dp[maxa][maxa];
int main(){
    while(scanf("%s", &str)!=EOF){
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        int l = strlen(str);
        for(int i = 0; i < l; i++){
            dp[i][i] = 1;
        }
        int ans = 0;
        for(int j = 1; j < l; j++){

            for(int i = 0; str[i]; i++){
                if(i+j > l) break;
                int k = i+j;
                if(str[i] == str[k]){
                    if(i+1 > k-1 || dp[i+1][k-1]){
                        dp[i][k] = 1;
                        ans = max(ans, k-i+1);
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d
", ans);
    }
}

4.namacher算法

将字符串中的每个字符的左右都加上一个串中不会出现的特殊字符，例如字符串为abcde，那么变换后的串为#a#b#c#d#e#

我们称变换后的串为str2

另p[i]为str2中第i个字符为中心的最长回文串的边界到中心的距离，i加上p[i],就是以i为中心的最长回文子串的右边界，用两个辅助变量分别是id，和mx。mx代表之前所有回文串最右右边界，id代表那最右右边界的点。

如上图所示i’代表i在id的对应左侧对应位置,如果以i为中心的回文串的边界不超过以id为中心的回文串的范围的话那么p[i] == p[i']，如果超过的话p[i] == 2*id-i，接下来在以为以为扩张p[i]。

由于每次扩张都会导致mx变大，而mx最大不会超过strlen(str2)，所以时间复杂度为n。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxa = 111111*2;
int p[maxa*2];
#define max(a,b) a>b?a:b;
#define min(a,b) a<b?a:b;
int rebuild(int n, char* a, char* str){
    for(int i = 0 ;i < n; i++){
        a[i*2+1] = '#';
        a[i*2+2] = str[i];
    }
    a[2*n+1] = '#';
    a[2*n+2] = 0;
    a[0] = '$';
    return 2*n+2;
}
int manachar(int n, char* a){
    int mx = 0, id = 0;
    int ans = 0;
   // printf("%s
", a);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        if(mx > p[i]){
            int i2 = 2*id - i;
            p[i] = min(mx - i, p[i2]);
        }else p[i] = 0;
        while(a[i-p[i]-1] == a[i+p[i]+1]){
            p[i]++;
        }
        ans = max(ans, p[i]);
        if(p[i] +i > mx){
            id = i;
            mx = p[i]+i;
        }
    }
    return ans;
}

char str[maxa*2];
char a[maxa*2];

int main(){
    while(scanf("%s", &str)!=EOF){
        int n = strlen(str);
        n = rebuild(n,a, str);
       // printf("fuck");
        printf("%d
", manachar(n, a));
    }
}

5.后缀数组

将字符串倒置接在原来字符串后，两个字符串之间用特殊字符分割，例如原串为abc，新串即为abc#cba。

我们将新串的前半部分称为str1,后半部分称为str2。

此时分两种情况，一种是求最长奇回文串，一种是求最长偶回文串。

（1）求最长奇回文串。枚举以每个字符为中心时的奇回文长度，只要求出第i个字符在str2中的位置，在求出两点的rank，然后求出两点rank之间的最小height，长度乘2-1就是以此点为中心的最长奇回文的长度。

（2）求最长偶回文，求出某一节点在str2中对应的位置的下一个节点，同（1）步骤求出的值*2即为以此点为中心右侧的偶回文的长度。

 时间复杂度是nlogn。

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;

#define rep(i,n) for(int i = 0;i < n; i++)
using namespace std;
const int size  = 222222,INF = 1<<30;
int rk[size],sa[size],height[size],w[size],wa[size],res[size];
void getSa (int len,int up) {
    int *k = rk,*id = height,*r = res, *cnt = wa;
    rep(i,up) cnt[i] = 0;
    rep(i,len) cnt[k[i] = w[i]]++;
    rep(i,up) cnt[i+1] += cnt[i];
    for(int i = len - 1; i >= 0; i--) {
        sa[--cnt[k[i]]] = i;
    }
    int d = 1,p = 0;
    while(p < len){
        for(int i = len - d; i < len; i++) id[p++] = i;
        rep(i,len)    if(sa[i] >= d) id[p++] = sa[i] - d;
        rep(i,len) r[i] = k[id[i]];
        rep(i,up) cnt[i] = 0;
        rep(i,len) cnt[r[i]]++;
        rep(i,up) cnt[i+1] += cnt[i];
        for(int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            sa[--cnt[r[i]]] = id[i];
        }
        swap(k,r);
        p = 0;
        k[sa[0]] = p++;
        rep(i,len-1) {
            if(sa[i]+d < len && sa[i+1]+d <len &&r[sa[i]] == r[sa[i+1]]&& r[sa[i]+d] == r[sa[i+1]+d])
                k[sa[i+1]] = p - 1;
            else k[sa[i+1]] = p++;
        }
        if(p >= len) return ;
        d *= 2,up = p, p = 0;
    }
}
void getHeight(int len) {
    rep(i,len) rk[sa[i]] = i;
    height[0] =  0;
    for(int i = 0,p = 0; i < len - 1; i++) {
        int j = sa[rk[i]-1];
        while(i+p < len&& j+p < len&& w[i+p] == w[j+p]) {
            p++;
        }
        height[rk[i]] = p;
        p = max(0,p - 1);
    }
}
int getSuffix(char s[]) {
    int len = strlen(s),up = 0;
    for(int i = 0; i < len; i++) {
        w[i] = s[i];
        up = max(up,w[i]);
    }
    w[len++] = 0;
    getSa(len,up+1);
    getHeight(len);
    return len;
}const int maxa = 222222;
char str[maxa];
int rmp[maxa][32];
int log(int n){
    int cnt = 0;
    while(n){
        cnt ++;
        n /= 2;
    }
    return cnt - 1;
}
int RMQ(int n){
    for(int i = 0;i < n; i++){
        rmp[i][0] = height[i];
    }
    int l = log(n);
    for(int i = 1; i < l; i++){
        for(int j = 0; j+(1<<(i-1)) < n; j++){
            rmp[j][i] = min(rmp[j][i-1], rmp[j+(1<<(i-1))][i-1]);
        }
    }
}
int r1r2(int a, int b){
    int j = log(b-a+1);
    return min(rmp[a][j], rmp[b-(1<<j)+1][j]);

}
int main(){
    while(scanf("%s", str)!=EOF){
        int l = strlen(str);
        str[l] = '#';
        for(int i = 0; i < l; i++){
            str[l+1+i] = str[l-1-i];
        }
        str[2*l+1] = 0;
        //printf("%s
", str);
        getSuffix(str);
        int n = strlen(str);
        RMQ(n);
        int ans = 0;
        for(int i= 0; str[i] != '#'; i++){
            int i1 =  2*l-i;
            //printf("%d == i %d == i1
", i, i1);
           // printf("%d %d
", rk[i], rk[i1]);
            int a = rk[i], b = rk[i1];
           // printf("%d ", 2*r1r2(min(a, b) + 1, max(a, b))-1);
            ans = max(ans, 2*r1r2(min(a, b) + 1, max(a, b))-1);
            i1++;
            a = rk[i], b = rk[i1];
            ans = max(ans, 2*r1r2(min(a, b) + 1, max(a, b)));
           // printf("%d
", 2*r1r2(min(a, b) + 1, max(a, b)));
        }
        printf("%d
", ans);
    }
}