编程之法：面试和算法心得（最大连续子数组和）

内容全部来自编程之法：面试和算法心得一书，实现是自己写的使用的是java

题目描述

输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。 求所有子数组的和的最大值，要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2， 因此输出为该子数组的和18。

分析与解法

解法一

求一个数组的最大子数组和，我想最直观最野蛮的办法便是，三个for循环三层遍历，求出数组中每一个子数组的和，最终求出这些子数组的最大的一个值。 令currSum[i, …, j]为数组A中第i个元素到第j个元素的和（其中0 <= i <= j < n），maxSum为最终求到的最大连续子数组的和。

且当全是负数的情况时，我们可以让程序返回0，也可以让程序返回最大的那个负数，这里，我们让程序返回最大的那个负数。

参考代码如下：

/*
     * 求一个数组的最大子数组和，我想最直观最野蛮的办法便是，三个for循环三层遍历，
     * 求出数组中每一个子数组的和，最终求出这些子数组的最大的一个值。 
     * 令currSum[i, …, j]为数组A中第i个元素到第j个元素的和（其中0 <= i <= j < n），
     * maxSum为最终求到的最大连续子数组的和。
     * 且当全是负数的情况时，我们可以让程序返回0，也可以让程序返回最大的那个负数，这里，我们让程序返回最大的那个负数。
     */
    public static int solution1(int[] arr)
    {
        int maxSum = arr[0];
        for(int i=0;i<arr.length;i++)
        {
            for(int j=i;j<arr.length;j++)
            {
                int currSum = 0;
                for(int k=i;k<j;k++)
                {
                    currSum+=arr[k];
                }
                maxSum = Math.max(maxSum, currSum);
            }
        }
        return maxSum;
    }

此方法的时间复杂度为O(n^3)。

解法二

事实上，当我们令currSum为当前最大子数组的和，maxSum为最后要返回的最大子数组的和，当我们往后扫描时，

• 对第j+1个元素有两种选择：要么放入前面找到的子数组，要么做为新子数组的第一个元素；
• 如果currSum加上当前元素a[j]后不小于a[j]，则令currSum加上a[j]，否则currSum重新赋值，置为下一个元素，即currSum = a[j]。
• 同时，当currSum > maxSum，则更新maxSum = currSum，否则保持原值，不更新。

即

currSum = max(a[j], currSum + a[j])
maxSum = max(maxSum, currSum)

举个例子，当输入数组是1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，那么，currSum和maxSum相应的变化为：

• currSum： 0 1 - 1 3 13 9 16 18 13
• maxSum ： 0 1 1 3 13 13 16 18 18

参考代码如下：

/*
     * 解法二
     * 事实上，当我们令currSum为当前最大子数组的和，maxSum为最后要返回的最大子数组的和，当我们往后扫描时，
     * 对第j+1个元素有两种选择：要么放入前面找到的子数组，要么做为新子数组的第一个元素；
     * 如果currSum加上当前元素a[j]后不小于a[j]，则令currSum加上a[j]，否则currSum重新赋值，置为下一个元素，即currSum = a[j]。
     * 同时，当currSum > maxSum，则更新maxSum = currSum，否则保持原值，不更新。
     * 即
     * currSum = max(a[j], currSum + a[j])
     * maxSum = max(maxSum, currSum)
     */
    public static int solution2(int[] arr)
    {
        int maxSum = arr[0];
        int currSum = 0;
        for(int i=1;i<arr.length;i++)
        {
            currSum = Math.max(arr[i], currSum + arr[i]);
            maxSum = Math.max(maxSum, currSum);
        }
        return maxSum;
    }