傅里叶系列（二）傅里叶变换的推导 (转)

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关于傅里叶级数的推导详见：

ElPsyConGree：傅里叶级数的数学推导

我们先把傅里叶级数转换为指数形式：

三角函数形式：

代入欧拉公式：

可以变形为：

将 、 代入傅里叶级数求得：

将(2)、(3)、(4)代入得：

同理可得：

将两式代入到(5)中解得：

 

(注意当 时： )

令 公式(6)简化为：

公式（6）为傅里叶级数的指数形式

 

极限求得傅里叶变换

频率的定义：在一定时间 内，一个函数完成周期的次数的倒数。

即： (T为原函数的周期)

 

比如 ，我们令 则函数完成的周期数为 0.5，频率为2。而如果令 则周期为1，频率为1。

而傅里叶变换很有趣，定义： ,此时欧拉公式

频率为 。

然后我们来仔细研究下公式(6)

提取 由傅里叶变换的周期定义中有 （记住因为n为正整数所以积分不是致密的，比如分母是个无限不循环小数。所以一定是黎曼不可积，但是却是勒贝格可积，因为点数是可数的），于是这个公式就变成了微积分公式的累加形式，我们设 则在 中因为变量 已经被积分掉，所以唯一的变量是 ，令 有：

我们得到傅里叶变换：

然后根据(8)我们得到反傅里叶变换

公式(9)、(8)为著名的傅里叶变换、反傅里叶变换

 

下一次开讲：离散傅里叶变化以及优化算法FFT