【（博弈）dfs序+树状数组】BZOJ2819-Nim

【题目大意】

普通的Nim游戏为：两个人进行游戏，N堆石子，每回合可以取其中某一堆的任意多个，可以取完，但不可以不取。谁不能取谁输。这个游戏是有必胜策略的。现在对每一堆编号1,2,3,4,...n,在堆与堆间连边，没有自环与重边，从任意堆到任意堆都只有唯一一条路径可到达。然后他不停地进行如下操作：
1.随机选两个堆v,u，询问若在v到u间的路径上的石子堆中玩Nim游戏，是否有必胜策略，如果有，vfleaking将会考虑将这些石子堆作为初始局面之一，用来坑玩家。
2.把堆v中的石子数变为k。

【思路】

对于普通的Nim游戏，如果所有石子数量异或和为1，则必胜，否则不能。

现在这些堆组成了一棵树，我们用query(x)表示从x到根节点的异或值，显然u到v的路径上的异或和胃query(u) xor query(v) xor (num[lca(u,v)])(因为它们的最近公共祖先被重复异或了两次，抵消掉了，所以又要异或回来。)

第一种做法就是用数量剖分，映射到线段树上去解决。

由于每个u的值改变，它仅仅会影响到它及它子树的query值，而且一个节点及其子树的dfs序是连续的，可以用树状数组来维护一下。

关于利用dfs序相同性质的一道题目，和AC自动机结合更困难些→♦

树状数组维护xor和维护和一个道理，相当于一个区间修改点查询的树状数组。注意一下修改操作的方法：delta=num[u]^v，这样异或的时候原来的num[u]就抵消了，留下了v。这比较简单，但是不要忘记了修改后要num[u]→v。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int MAXN=500000+50;
const int DEG=20;
vector<int> E[MAXN];
int start[MAXN],end[MAXN];
int n,num[MAXN],e[MAXN];
int anc[MAXN][DEG],dep[MAXN];
int cnt=0;

void addedge(int u,int v)
{
    E[u].push_back(v);
    E[v].push_back(u);
}

/*树状数组区间修改点查询部分*/ 
int lowbit(int x)
{
    return (x&(-x));
}

void modify(int x,int y,int delta)
{
    if (x<y) swap(x,y);
    x++;
    while (x<MAXN) e[x]^=delta,x+=lowbit(x); 
    while (y<MAXN) e[y]^=delta,y+=lowbit(y);
}

int query(int x)
{
    int ret=0;
    while(x) ret^=e[x],x-=lowbit(x);
    return ret;
}

/*dfs序部分及lca的初始化*/ 
void dfs(int u,int fa,int d)
{
    dep[u]=d;
    anc[u][0]=fa;
    start[u]=++cnt;
    for (int i=0;i<E[u].size();i++)
        if (E[u][i]!=fa) dfs(E[u][i],u,d+1);
    end[u]=cnt;
} 

/*lca部分*/ 
void getanc()
{
    for (int i=1;i<DEG;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            anc[j][i]=anc[anc[j][i-1]][i-1];
}

int swim(int u,int H)
{
    int i=0;
    while (H)
    {
        if (H&1) u=anc[u][i];
        i++;
        H>>=1;
    }
    return u;
}

int lca(int u,int v)
{
    if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
    u=swim(u,dep[u]-dep[v]);
    if (u==v) return u;
    for (int i=DEG-1;i>=0;i--)
    {
        if (anc[u][i]!=anc[v][i])
        {
            u=anc[u][i];
            v=anc[v][i];
        }
    }
    return anc[u][0];
}

/*main*/ 
void init()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&num[i]);
    for (int i=0;i<n-1;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        addedge(u,v);
    }
    dfs(1,0,0);
    getanc(); 
    memset(e,0,sizeof(e));
    for (int i=1;i<=n;i++) modify(start[i],end[i],num[i]);
}

void solve()
{
    int q;
    scanf("%d",&q);
    for (int i=0;i<q;i++)
    {
        char c[2];int u,v;
        scanf("%s%d%d",c,&u,&v);
        if (c[0]=='Q')
        {
            int LCA=lca(u,v);
            int ans=query(start[u])^query(start[v])^num[LCA];
            if (ans) puts("Yes");else puts("No");
        }
        else 
        {
            modify(start[u],end[u],num[u]^v);
            num[u]=v;
        }
    }
}

int main()
{
    init();
    solve(); 
    return 0;
}