算法导论数论中国余数定理

1. 定理。n=n1n2…nk,且ni间两两互质，a<---->(a1,a2,…,ak),a属于，ai属于，且i=1,2…k

        ai=amodni。

        若 a<----->(a1,a2,…,ak)

         b<----->(b1,b2,…bk)

        那么

            a+b<----->((a1+b1)modn1,(a2+b2)modn2,…,(ak+bk)modnk)

            a-b<----->((a1-b1)modn1,(a2-b2)modn2,…,(ak-bk)modnk)

            ab<----->((a1b1)modn1,(a2b2)modn2,…,(akbk)modnk)

证明：

（1）将a转换为a1,a2…ak,只需对n进行质因数分解

（2）将a1,a2,…ak转换为a

mi=n/ni,ci=mi(modni)

需证明:a=(a1c1+a2c2+…+akck)(modn)能保证a=ai(modni)

        j!=i,则，mj=0(modni) 即 cj=mj=0(modni)

        即：ci<- --- >(0,0,…,0,1,0,…0)(第i个为1)

                    所以对每个i

                    有：a=aici(modni)=ai mi(modni)=ai(modni)

同理可证明出加减乘、

2. n=n1n2…nk,且ni间两两互质,对a1,a2,…,ak ,    x=ai(modni)对模n有唯一解

3. n1,n2不互素的解法

http://www.cnblogs.com/inpeace7/archive/2012/03/17/2403063.html

中国剩余定理，非互素

x=a1(mod n1)

x=a2(mod n2)

n1与n2不互素。

x=n1k1+a1

x=n2k2+a2

n1k1=n2k2+a2-a1

n1k1=a2-a1(mod n2)

若k1有解，则gcd(n1,n2)|(a2-a1)

设d=gcd(n2,n1)

即 n1k1/d=(a2-a1)/d(mod n2/d)

k1=(a2-a1)/d*(mod n2/d)

设k1=(a2-a1)/d*+k(n2/d)

所以x=n1k1+a1=n1((a2-a1)/d*)+k(n2/d))+a1

         x=n1*(a2-a1)*/d+a1(mod n1n2/d)

令t=(a2-a1)*，n=n1n2/d

x=tn1+a2(mod n)