CoinChange

题目

题目：CoinChange
有面额不等的coins，数量无限，要求以最少的(coins)凑齐所需要的(amount)。
若能，返回所需的最少coins的数量，若不能，返回-1。

• Example 1:
  coins = [1, 2, 5], amount = 11
  return 3 (11 = 5 + 5 + 1)
• Example 2:
  coins = [2], amount = 3
  return -1.

无法用贪心做,例如：coins = [5,6,10], amount = 11 *。

动态规划解法：

1、

这里我用(coins=[c_1,c_2,...,c_m])表示所有的(coin)面值的集合;
用集合(S(amount)=(c_{i1},c_{i2}...c_{im}))表示凑齐(amount)的一种凑法；
用函数(f(amount))表示 凑齐(amount)的所有的凑法。
当(amount=i)的时候，有(f(i))种凑法,
$ f(amount) = { (c_{i1},...),(c_{i2},...),...,(c_{ik},...) } ,c_xin coins$

例如：
(coins = [1,5,6,9], amount = 11);
.........(f(11)={ (5,6),(1,1,9)})

凑齐11，有两种办法，一是5+6，另一种是1+1+9.

用(dp[i])表示凑齐(amount)所需的最少(coins)数，(dp[i]=-1)表示无法凑齐。
(dp[i] = min {count( f(i) ) })

例如：(dp[11]=min{count(f(11))}=min{count((5,6),(1,1,9))}=min{2,3}=2)

2、递推公式：

(f())的递推公式为：

(f(j)={f(i_1)+c_1,f(i_2)+c_2,...,f(i_k)+c_k })，条件：(j>i,f(j)>=0,c_xin coins)

(dp[])的递推公式为：

(dp[j]=min{dp[i_1]+1,dp[i_2]+1,...,dp[i_k]+1 })

3、边界条件：

(f(0)=0)
(dp[0]=0)

---

例子：

amount：                       11
coins:  0 - - - - 5 6 - - - 10  -
amount: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
dp:     0 - - - - 1 1 - - -  1  2

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代码：

int coinChange(const vector<int>& coins, int amount) {
	vector<int> dp(amount + 1, -1);
	dp[0] = 0;

	for (int i = 1; i <= amount ; i++) {
		for (int c: coins) {
            if (i >= c && dp[i-c] >= 0) { // 若coin面值超过amount，无法凑出
                if (dp[i] > 0) {          // 若有别的凑法，比较那种凑法用的coins少
                    dp[i] = dp[i] < (dp[i - c] + 1) ? dp[i] : dp[i - c] + 1;
                } else {
                    dp[i] = dp[i - c] + 1;
                }
            }
        }
    }
    //display(dp);
    return dp[amount];
}