归并排序 霍纳规则（法则） 统计逆序对

归并排序

又称合并排序，其核心是分治思想。分治法详细请看百度百科

《算导》p20：分治法中的递归式是基于基本模式中的三个步骤的。如先前一样，设T(n)为一个规模为n的问题的运行时间。如果问题的规模足够地小，如n≤c（c为一个常量），则得到它的直接解的时间为常量，写作Θ(1)。假设我们把原问题分解成a个子问题，每一个的大小是原问题的1/b。（对于合并排序，a和b都是2，但在许多分治法中，a≠b。）如果分解该问题和合并解的时间各为D(n)和C(n)，则得到递归式：

我们则知道，归并时间复杂度是Θ(n lg n)的了（具体看算导p20-p22）

上我自己的代码

#define WHI(i,a,n) for(i=(a);i<(n);++i)
#define REP(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)

const int MAXi = 1e5+10, oo = ~0u>>1;
int L[MAXi], R[MAXi];

void merge_sort(int* arr, int f, int l){
	if(f < l-1){
		int m = (f+l) >> 1, i = 0, j = 0;
		merge_sort(arr, f, m);
		merge_sort(arr, m, l);
		WHI(i, 0, m-f) L[i] = arr[f+i];
		WHI(j, 0, l-m) R[j] = arr[m+j];
		L[i] = R[j] = oo; i = j = 0;
		while(f < l)
			arr[f++] = L[i] < R[j] ? L[i++] : R[j++];
	}
}

 

霍纳规则（法则）

即“秦九韶方法” 用来计算多项式我们用D(i)来表示可推出

顺推：   答案是D(n)

逆推： 答案是D(0)

很容易看出可以用滚动求值，即D = a(n-1) + x * D 或 D = a(i) + x * D

代码

//顺推
for(int i = 0, D = 0; i <= n; ++i)
	D = a[n-i] + x * D;
//逆推
for(int i = n, D = 0; i >= 0; ++i)
	D = a[i] + x * D;

统计逆序对

含义：对于一个包含N个非负整数的数组A[1..n]，如果有i < j，且A[ i ]>A[ j ]，则称(A[ i] ,A[ j] )为数组A中的一个逆序对。例如，数组（3，1，4，5，2）的逆序对有(3,1),(3,2),(4,2),(5,2)，共4个。

很快就能用插入排序来统计，但O(n^2)咱们不采用，咱们用O(n lg n)的归并啦 >_<

代码

#define WHI(i,a,n) for(i=(a);i<(n);++i)
#define REP(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)

const int MAXi = 1e5+10, oo = (~0u>>1)+1;

typedef unsigned long long ull;

ull cnt;
int L[MAXi], R[MAXi];

void mi_cnt(int* arr, int f, int l){
	if(f < l-1){
		int m = (f+l) >> 1, i = 0, j = 0;
		mi_cnt(arr, f, m);
		mi_cnt(arr, m, l);
		WHI(i, 0, m-f) L[i] = arr[f+i];
		WHI(j, 0, l-m) R[j] = arr[m+j];
		L[i] = R[j] = oo; i = j = 0;
		while(f < l)
			if(L[i] > R[j]){
				arr[f++] = L[i++];
				cnt += l-m-j;
			}
			else
				arr[f++] = R[j++];
	}
}

OK。写完文章了，欢迎大家指点~