光在参与介质中的传播及辐射传递方程
声明与参考
本文主要参考和翻译
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Efficient Monte Carlo Methods for Light Transport in Scattering Media（Wojciech Jarosz）
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Light Transport in Medium（from cornell university）
参与介质
云，雾，浑浊的水等类似的介质可以散射光，换句话说，这些介质参与光的传输，故我们把此类介质称作参与介质（participating media）。当我们想要渲染这些参与介质时，就必须弄明白光线在参与介质中传播时是怎样变化的，也就是体渲染技术，本文的目的就是推导体渲染方程。
如果光在非真空中传播，我们有必要考虑环境中介质对光的传输的影响。光线在传播时会触发四个事件：光子从介质粒子中放射出来；一个光子碰到一个粒子被吸收转化成其他形式的能量，如热能；一个光子击中一个粒子，行进方向发生偏转；其他射线击中粒子，有的光子被偏转到当前射线的行进方向。以上现象分别对应术语：发射（Emission）、吸收（Absorption）、外散射（Out-scattering）、内散射（In-scattering）。
（图解：箭头由粗到细代表射线辐射衰减，由细到粗代表辐射增强，绿色代表击中的粒子）
发射（Emission）
发射指的是有的介质（如火焰）会发射能量，射线穿过介质时，射线辐射会增强。我们先考虑当射线穿过1或者2个单位长度的介质时的情况。
一般的，当光线穿过长度为d个单位长度的发光介质时，有
，易知辐射随介质长度t线性增长：
在3D中，考虑各向异性的情况（介质不均匀）：
光通过介质x处时，在
方向上的方向导数为
，其中
为介质发光场在x处的梯度，
为光在x点处的辐射度，设吸收函数为
，x处沿
方向粒子发射产生的辐射为
，则射线在通过发光介质x处沿
方向的变化量为：
吸收（absorption）
射线在介质中传播，碰到某些吸光的介质，一部分光子就会被吸收，发射（Emission）事件中入射光出射光的辐射呈线性关系，而这里入射光与出射光成正比关系，比例系数是一个与距离成指数关系的函数，如下图：
一般地，写成函数如下：
其中σa为吸收系数。在3D的情况下，我们还得考虑立体角，同样的，我们假设介质是非均匀的，方便起见，我们把吸收系数写成关于某一点x的函数
。
当x以
的长度步进时，会有
的光子被吸收，因此，我们可以有以下表达式：
移项可得：
我们让
，左边相当于对
关于t求导，设
为x处吸收系数的梯度，则
为吸收系数在
方向上的方向导数，故有：
我们要求的结果为后一个等式，即则射线在通过光吸介质x处沿
方向的变化量：
外散射（Out-scattering）
外散射是射线在击中粒子时，在其他方向偏转的光子的损失。 由于我们只关心沿着光线的辐射，所以外散射的方向是不重要的，外散射的影响与吸收相同，设散射系数为σs。 总消光系数σt=σa+σs描述了吸收和外散射的辐射损失，外散射导致的辐射变化量可以写作：
将吸收和外散射导致的变化量写在一块，即：
内散射（In-scattering）
外散射使得射线辐射减少，因为射线方向上的部分光子被散射到其他方向。也正因为外散射的存在，其他的射线外散射出的光子可能正好被散射到我们正追踪的光线上，使得射线方向上的辐射增强，我们把这种现象称作内散射。
我们用i作为下标来表示各种内散射变量，与Emission类似，可以把内散射导致的变化量为：
内散射的结果受到来自四面八方的光线影响，把这些光的立体角记为
。我们可以用球面（整个！！）积分来计算
，有：
其中
是内散射的相函数（Phase function），它描述的是介质中某个点的散射在各个立体角方向上的分布情况。从这个函数的作用来看，内散射通常是个各向异性的，相函数有很多模型可以应用。关于相函数的讨论，我想另起一篇，这里不做讨论。
总结
我们把以上几个方程合并为：
这个方程被称为辐射传递或辐射传输方程的微积分形式，或简称为RTE。在计算机图形学中，辐射传递方程（radiative transfer equation）的这种微积分形式通常被称为体渲染方程，我们必须能够解这个方程，以便使用参与介质来渲染图像。 不幸的是，体渲染方程比常规渲染方程更复杂，复杂到应该另起一篇博文来讲述。