联合权值 vijos 1906 NOIP2014 D1T2 图结构

无向连通图 G 有 n 个点，n-1 条边。点从 1 到 n 依次编号，编号为 i 的点的权值为 W_i， 每条边的长度均为 1。图上两点(u, v)的距离定义为 u 点到 v 点的最短距离。对于图 G 上的点对(u, v)，若它们的距离为 2，则它们之间会产生W_u​×W_v​的联合权值。

请问图 G 上所有可产生联合权值的【有序点对】中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

本题O（N²）枚举可以拿60分，注意到有序点对中（a，b）和（b，a）是一样的，并以此优化（只算 a<b 的情况，最终的和乘以2，最大值不受影响），可以拿70分。

正解需要推一下公式。

因为本题是n个点、n-1条边，所以一定是一棵树。对于一个点N及其所连的两个不同点A、B，可以知道D_AB=D_AN+D_NB=2；即对于一个点，设其相邻的点构成集合E，那么集合E中的任意点两两组合出来的点对（A，B），一定有AB最短路是2，符合题目要求，可以计算联合权值。

我们设A、B、C三个点与D相连，权值分别为a、b、c，那么他们贡献的联合权值为  （ab+bc+ac）*2

眼熟么？想一想（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，那么上式等价：（a+b+c）²-（a²+b²+c²）

那么我们枚举每一个点，拿到其所相邻的点的和与平方和，即可求出这个点的所有相邻点贡献的全部联合权值（和的平方减去平方和）。

注意，中间过程的数比较大，可能需要开long long来运算。

这个是和的解法。那么最大值呢？

我们在计算的时候，取点N的相邻点中最大的权值w1、w2，那么点N的相邻点能形成的最大联合权值一定是w1*w2，我们以此更新答案即可。

附上AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<iostream>
using namespace std;
template<class T> inline void read(T &_a){
    bool f=0;int _ch=getchar();_a=0;
    while(_ch<'0' || _ch>'9'){if(_ch=='-')f=1;_ch=getchar();}
    while(_ch>='0' && _ch<='9'){_a=(_a<<1)+(_a<<3)+_ch-'0';_ch=getchar();}
    if(f)_a=-_a;
}

const int maxn=1200001,modx=10007;
struct edge
{
    int to,next;
}e[maxn<<1];
long long n,egcnt,head[maxn],w[maxn],maxx,sum;

inline void addedge(int from,int to)
{
    e[++egcnt].to=to;
    e[egcnt].next=head[from];
    head[from]=egcnt;
    e[++egcnt].to=from;
    e[egcnt].next=head[to];
    head[to]=egcnt;
}

int main()
{
    read(n);
    for (register int i=1,a,b;i<n;++i) read(a),read(b),addedge(a,b);
    for (register int i=1;i<=n;++i) read(w[i]);
    for (register int i=1;i<=n;++i)
    {
        long long cnt1=0,cnt2=0,maxx1=0,maxx2=0;
        for (register int v=head[i];v;v=e[v].next)
        {
            cnt1+=w[e[v].to];
            cnt2+=w[e[v].to]*w[e[v].to];
            cnt1%=modx;
            cnt2%=modx;
            if(w[e[v].to]>maxx1) maxx2=maxx1,maxx1=w[e[v].to];
             else if (w[e[v].to]>maxx2) maxx2=w[e[v].to];
        }
        sum+=(cnt1*cnt1%modx-cnt2+modx)%modx;
        sum%=modx;
        maxx=max(maxx,maxx1*maxx2);
    }
    printf("%lld %lld",maxx,sum%modx);
    return 0;
}