POJ 3734 Blocks （线性递推）

定义a_i表示红色和绿色方块中方块数为偶数的颜色有i个，i = 0,1,2。

_aij表示刷到第j个方块时的方案数，这是一个线性递推关系。

可以构造递推矩阵A，用矩阵快速幂求解。

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*   author AbyssalFish                                   *
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#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;

#define PB push_back
const int maxn = 3, mod = 1e4+7;
const int n = 3;
typedef int MType;
typedef vector<MType> row;
typedef vector<row> mat;
struct Matrix
{
    mat dat;
    row &operator [](int x){ return dat[x]; }
    Matrix operator * (Matrix& B) {
        Matrix re;
        re.dat.resize(n,row(3,0));
        for(int i = 0; i < n; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                for(int k = 0; k < n; k++){
                    re[i][j] = (re[i][j]+dat[i][k]*B[k][j])%mod;
                }
            }
        }
        return re;
    }
    Matrix operator ^ (int q){
        Matrix Re, A = *this;
        Re.dat.resize(n,row(3,0));
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            Re[i][i] = 1;
        }
        while(q){
            if(q&1){
                Re = Re * A;
            }
            A = A * A;
            q >>= 1;
        }
        return Re;
    }
};

//#define LOCAL
int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    Matrix A;
    A.dat.resize(3,row(3,0));
    A[0][0] = 2; A[0][1] = 1;
    fill(A.dat[1].begin(),A.dat[1].end(),2);
    A[2][1] = 1; A[2][2] = 2;
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int N; scanf("%d",&N);
        //mat R = .dat;+R[0][1]+R[0][2]
        printf("%d
", (A^N)[0][0]);
    }
    return 0;
}

由初值可知，最后答案为A^k(1,1)，复杂度是O(3^3*logN)。

如果利用特征值的话，效率会更高。

A的对角化矩阵Λ为

如果对应的特征向量矩阵为P，A^k = P * Λ^k * P'。

因为除了对角元都为0，所以可以去掉一个和号，而特征值4对应的系数为1/4，2对应的系数为1/2，因此最终答案为4^n-1+2^n-1。

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*            ------------------                          *
*   author AbyssalFish                                   *
**********************************************************/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

const int mod = 1e4+7;
int pow_mod(int a,int q)
{
    int re = 1;
    while(q){
        if(q&1) re = (re*a)%mod;
        a = (a*a)%mod;
        q>>=1;
    }
    return re;
}
//#define LOCAL
int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int N; scanf("%d",&N);
        printf("%d
",(pow_mod(4,N-1)+pow_mod(2,N-1))%mod);
    }
    return 0;
}