第二章 插值法
1、拉格朗日基函数，可从线性插值基函数开始构造，简写过程如下：
2、牛顿基函数为{1,(x-x0),(x-x0)(x-x1),…,(x-x0)(x-x1)…(x-xn)}，牛顿插值基函数中带有常数项x0,x1,…,xn，这与单项式基不同。
3、形如f[x0,x1,…,xn]=(f[x0,x1,…,xn-2,xn]-f[x0,x1,…,xn-2,xn-1])/(xn-xn-1)，称为f(x)的k阶均差，具有以下的基本性质：
（1）均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性（拉格朗日插值函数的应用）k阶均差可以表示为函数值f(x0),f(x1),…,f(xn)的线性组合，即f[x0,x1,…,xk]=∑kj=0(f(xj)/(xj-x0)…(xj-xj-1)(xj-xj+1)…(xj-xk))。
（2）由性质1和k阶均差的性质f[x0,x1,…,xn]=（f[x0,x1,…,xk]-f[x0,x1,…,xk-1]）/（xk-x0）（分子前项多xk）。
（3）若f(x)在[a,b]上存在n解导数，且节点x0,x1,…,xn-2,xn属于[a,b]，则n阶均差与导数的关系为f[x0,x1,…,xn]=fn+1(ζ)/n!。
4、n+1个点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式的异同：
5、（1）单项式基底为{1,x,x2,…,xn}，已知数为{x0,x1,…,xn}，则未知数为{a0,a1,…,an}则系数矩阵为（不存在0元素，全为非零元素）
（2）拉格朗日基底为{l0(x),l1(x),…,ln(x)}，已知数为{y0,y1,…,yn}，未知数为{l0(x),l1(x),…,ln(x)}。
（3）牛顿的基底为{1,(x-x0),(x-x0)(x-x1),…,(x-x0)(x-x1)…(x-xn)}，已知数为{x0,x1,…,xn}，未知数为{a0,a1,…,an}，则系数矩阵为
6、按照工作量，排序如下：牛顿插值、拉格朗日插值、多项式插值。
7、给出插值多项式余项，估计阶段误差
8、埃尔米特插值最显著的特征是：即要求节点上的函数值相等，同时也要求节点上到数值相等，甚至高阶导数值相等。泰勒公式：
9、根据龙格函数（Ronge）发现的现象，发现高次多项式插值Ln(x)近似f(x)的效果并不好。产生的主要原因是计算时的舍入误差引起。
10、三次埃尔米特插值要求给出节点上的函数值和导数值，只有一阶导数连续。三次样条插值要求给出各节点的函数孩子和区间的边界值，具有二阶导数连续。从上可以看书，三次样条插值更优越，对节点的要求较低，具有二阶导数连续（插值函数更光滑）。
11、（1）✖，因为插值函数唯一。
（2）✔。
（3）✔，因为余项等于0.
（4）✖，典型的例子是龙格现象。
（5）✔，n越大说明步长h→0，此时S(x),S'(x),和S''(x)均一致检验与f(x),f'(x)和f''(x)。
（6）✖，典型的例子是龙格现象。
（7）✔。