查询短语“工具的应用”两字时,任何一个搜索引擎都包含几十万甚至是上百万个多少有点关系的网页。那么哪个应该排在前面呢？显然我们应该根据网页和查询的相关性对这些网页进行排序。关键问题是如何度量网页和查询的相关性。
我 们知道，短语“工具的应用”可以分成三个关键词：工具、的、应用。根据我们的直觉，我们知道，包含这三个词多的网页应该比包含它们少的网页相关。当然，这 个办法有一个明显的漏洞，就是长的网页比短的网页占便宜，因为长的网页总的来讲包含的关键词要多些。因此我们需要根据网页的长度，对关键词的次数进行归一 化，也就是用关键词的次数除以网页的总字数。我们把这个商称为“关键词的频率”，或者“单文本词汇频率”（Term Frequency)，比如，在某个一共有一千词的网页中“工具”、“的”和“应用”分别出现了 2 次、35 次 和 5 次，那么它们的词频就分别是 0.002、0.035 和 0.005。 我们将这三个数相加，其和 0.042 就是相应网页和查询“原子能的应用”
相关性的一个简单的度量。概括地讲，如果一个查询包含关键词 w1,w2,...,wN, 它们在一篇特定网页中的词频分别是: TF1, TF2, ..., TFN。 （TF: term frequency)。 那么，这个查询和该网页的相关性就是:
TF1 + TF2 + ... + TFN。
读 者可能已经发现了又一个漏洞。在上面的例子中，词“的”站了总词频的 80% 以上，而它对确定网页的主题几乎没有用。我们称这种词叫“应删除词”（Stopwords)，也就是说在度量相关性是不应考虑它们的频率。在汉语中，应删 除词还有“是”、“和”、“中”、“地”、“得”等等几十个。忽略这些应删除词后，上述网页的相似度就变成了0.007，其中“工具”贡献了0.002， “应用”贡献了 0.005。
细心的读者可能还会发现另一个小的漏洞。在汉语中，“应用”是个很通用的词，而“工具”是个较专业的词，后者在相关性排名中比前者重要。因此我们需要给汉语中的每一个词给一个权重，这个权重的设定必须满足下面两个条件：
1. 一个词预测主题能力越强，权重就越大，反之，权重就越小。我们在网页中看到“工具”这个词，或多或少地能了解网页的主题。我们看到“应用”一次，对主题基本上还是一无所知。因此，“工具“的权重就应该比应用大。
2. 应删除词的权重应该是零。
我 们很容易发现，如果一个关键词只在很少的网页中出现，我们通过它就容易锁定搜索目标，它的权重也就应该大。反之如果一个词在大量网页中出现，我们看到它仍 然不很清楚要找什么内容，因此它应该小。概括地讲，假定一个关键词 ｗ 在 Ｄｗ 个网页中出现过，那么 Ｄｗ 越大，ｗ 的权重越小，反之亦然。在信息检索中，使用最多的权重是“逆文本频率指数” （Inverse document frequency 缩写为ＩＤＦ），它的公式为ｌｏｇ（Ｄ／Ｄｗ）其中Ｄ是全部网页数。比如，我们假定中文网页数是Ｄ＝１０亿，应删除词“的”在所有的网页中都出现，即 Ｄｗ＝１０亿，那么它的ＩＤＦ＝log(10亿/10亿）= log (1) = ０。假如专用词“原子能”在两百万个网页中出现，即Ｄｗ＝２００万，则它的权重ＩＤＦ＝log(500) =6.2。又假定通用词“应用”，出现在五亿个网页中，它的权重ＩＤＦ = log(2)
则只有 0.7。也就只说，在网页中找到一个“工具”的比配相当于找到九个“应用”的匹配。利用 IDF，上述相关性计算个公式就由词频的简单求和变成了加权求和，即 TF1*IDF1 + TF2*IDF2 ＋... + TFN*IDFN。在上面的例子中，该网页和“原子能的应用”的相关性为 0.0161，其中“工具”贡献了 0.0126，而“应用”只贡献了0.0035。这个比例和我们的直觉比较一致了。
ＴＦ／ＩＤＦ（term frequency/inverse document frequency) 的概念被公认为信息检索中最重要的发明。在搜索、文献分类和其他相关领域有广泛的应用。讲起 TF/IDF 的历史蛮有意思。IDF 的概念最早是剑桥大学的斯巴克－琼斯[注：她有两个姓〕 (Karen Sparck Jones)提出来的。斯巴克－琼斯 １９７２ 年在一篇题为关键词特殊性的统计解释和她在文献检索中的应用的论文中提出ＩＤＦ。遗憾的是，她既没有从理论上解释为什么权重ＩＤＦ 应该是对数函数 ｌｏｇ（Ｄ／Ｄｗ）（而不是其它的函数，比如平方根），也没有在这个题目上作进一步深入研究，以至于在以后的很多文献中人们提到 ＴＦ／ＩＤＦ 时没有引用她的论文，绝大多数人甚至不知道斯巴克－琼斯的贡献。同年罗宾逊写了个两页纸的解释，解释得很不好。倒是后来康乃尔大学的萨尔顿 （Salton)多次写文章 、写书讨论 TF/IDF 在信息检索中的用途，加上萨尔顿本人的大名（信息检索的世界大奖就是以萨尔顿的名字命名的）。很多人都引用萨尔顿的书，甚至以为这个信息检索中最重要的概 念是他提出的。当然，世界并没有忘记斯巴克－琼斯的贡献，2004年，在纪念文献学学报创刊 60 周年之际，该学报重印了斯巴克-琼斯的大作。罗宾逊在同期期刊上写了篇文章 ，用香农的信息论解释 IDF，这回的解释是对的，但文章 写的并不好、非常冗长（足足十八页），把一个简单问题搞复杂了。其实，信息论的学者们已经发现并指出，其实 IDF 的概念就是一个特定条件下、关键词的概率分布的交叉熵。这样，信息检索相关性的度量，又回到了信息论。
现 在的搜索引擎对 TF/IDF 进行了不少细微的优化，使得相关性的度量更加准确了。当然，对有兴趣写一个搜索引擎的爱好者来讲，使用 TF/IDF 就足够了。 如果我们结合上网页排名(Page Rank)，那么给定一个查询，有关网页综合排名大致由相关性和网页排名乘积决定。
余弦定理和新闻的分类似乎是两件八杆子打不着的事，但是它们确有紧密的联系。具体说，新闻的分类很大程度上依靠余弦定理。
所谓新闻的分类无非是要把相似的新闻放到一类中。计算机其实读不懂新闻，它只能快速计算。这就要求我们设计一个算法来算出任意两篇新闻的相似性。为了做到这一点，我们需要想办法用一组数字来描述一篇新闻。
对于一篇新闻中的所有实词，我们可以计算出它们的单文本词汇频率/逆文本频率值（TF/IDF)。不难想象，和新闻主题有关的那些实词频率高，TF/IDF 值很大。我们按照这些实词在词汇表的位置对它们的 TF/IDF 值排序。比如，词汇表有六万四千个词，分别为
单词编号 汉字词
------------------
1 阿
2 啊
3 阿斗
4 阿姨
...
789 服装
....
64000 做作
在一篇新闻中，这 64,000 个词的 TF/IDF 值分别为
单词编号 TF/IDF 值
==============
1 0
2 0.0034
3 0
4 0.00052
5 0
...
789 0.034
...
6400 0 0.075
如果单词表中的某个次在新闻中没有出现，对应的值为零，那么这 64,000 个数，组成一个64,000维的向量。我们就用这个向量来代表这篇新闻，并成为新闻的特征向量。如果两篇新闻的特征向量相近，则对应的新闻内容相似，它们应当归在一类，反之亦然。
学过向量代数的人都知道，向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。
余弦定理对我们每个人都不陌生，它描述了三角形中任何一个夹角和三个边的关系，换句话说，给定三角形的三条边，我们可以用余弦定理求出三角形各个角的角度。假定三角形的三条边为 a, b 和 c，对应的三个角为 A, B 和 C，那么角 A 的余弦 --
如果我们将三角形的两边 b 和 c 看成是两个向量，那么上述公式等价于
其中分母表示两个向量 b 和 c 的长度，分子表示两个向量的内积。举一个具体的例子，假如新闻 X 和新闻 Y 对应向量分别是
x1,x2,...,x64000 和
y1,y2,...,y64000,
那么它们夹角的余弦等于，
当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。
我们在中学学习余弦定理时，恐怕很难想象它可以用来对文章 进行分类。在这里，我们再一次看到数学工具的用途。