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  • 数据结构之拓扑排序

    拓扑排序介绍

    拓扑排序(Topological Order)是指,将一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)进行排序进而得到一个有序的线性序列。

    这样说,可能理解起来比较抽象。下面通过简单的例子进行说明!
    例如,一个项目包括A、B、C、D四个子部分来完成,并且A依赖于B和D,C依赖于D。现在要制定一个计划,写出A、B、C、D的执行顺序。这时,就可以利用到拓扑排序,它就是用来确定事物发生的顺序的。

    在拓扑排序中,如果存在一条从顶点A到顶点B的路径,那么在排序结果中B出现在A的后面。

    拓扑排序算法的基本步骤

    1. 构造一个队列Q(queue) 和 拓扑排序的结果队列T(topological);
    2. 把所有没有依赖顶点的节点放入Q;
    3. 当Q还有顶点的时候,执行下面步骤:
      3.1 从Q中取出一个顶点n(将n从Q中删掉),并放入T(将n加入到结果集中);
      3.2 对n每一个邻接点m(n是起点,m是终点);
      3.2.1 去掉边
    #define MAX 100
    // 邻接表
    class ListDG
    {
        private: // 内部类
            // 邻接表中表对应的链表的顶点
            class ENode
            {
                int ivex;           // 该边所指向的顶点的位置
                ENode *nextEdge;    // 指向下一条弧的指针
                friend class ListDG;
            };
    
            // 邻接表中表的顶点
            class VNode
            {
                char data;          // 顶点信息
                ENode *firstEdge;   // 指向第一条依附该顶点的弧
                friend class ListDG;
            };
    
        private: // 私有成员
            int mVexNum;             // 图的顶点的数目
            int mEdgNum;             // 图的边的数目
            VNode *mVexs;            // 图的顶点数组
    
        public:
            // 创建邻接表对应的图(自己输入)
            ListDG();
            // 创建邻接表对应的图(用已提供的数据)
            ListDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
            ~ListDG();
    
            // 深度优先搜索遍历图
            void DFS();
            // 广度优先搜索(类似于树的层次遍历)
            void BFS();
            // 打印邻接表图
            void print();
            // 拓扑排序
            int topologicalSort();
    
        private:
            // 读取一个输入字符
            char readChar();
            // 返回ch的位置
            int getPosition(char ch);
            // 深度优先搜索遍历图的递归实现
            void DFS(int i, int *visited);
            // 将node节点链接到list的最后
            void linkLast(ENode *list, ENode *node);
    };

    (01) ListDG是邻接表对应的结构体。 mVexNum是顶点数,mEdgNum是边数;mVexs则是保存顶点信息的一维数组。
    (02) VNode是邻接表顶点对应的结构体。 data是顶点所包含的数据,而firstEdge是该顶点所包含链表的表头指针。
    (03) ENode是邻接表顶点所包含的链表的节点对应的结构体。 ivex是该节点所对应的顶点在vexs中的索引,而nextEdge是指向下一个节点的。

    拓扑排序

    /*
     * 拓扑排序
     *
     * 返回值:
     *     -1 -- 失败(由于内存不足等原因导致)
     *      0 -- 成功排序,并输入结果
     *      1 -- 失败(该有向图是有环的)
     */
    int ListDG::topologicalSort()
    {
        int i,j;
        int index = 0;
        int head = 0;           // 辅助队列的头
        int rear = 0;           // 辅助队列的尾
        int *queue;             // 辅组队列
        int *ins;               // 入度数组
        char *tops;             // 拓扑排序结果数组,记录每个节点的排序后的序号。
        ENode *node;
    
        ins   = new int[mVexNum];
        queue = new int[mVexNum];
        tops  = new char[mVexNum];
        memset(ins, 0, mVexNum*sizeof(int));
        memset(queue, 0, mVexNum*sizeof(int));
        memset(tops, 0, mVexNum*sizeof(char));
    
        // 统计每个顶点的入度数
        for(i = 0; i < mVexNum; i++)
        {
            node = mVexs[i].firstEdge;
            while (node != NULL)
            {
                ins[node->ivex]++;
                node = node->nextEdge;
            }
        }
    
        // 将所有入度为0的顶点入队列
        for(i = 0; i < mVexNum; i ++)
            if(ins[i] == 0)
                queue[rear++] = i;          // 入队列
    
        while (head != rear)                // 队列非空
        {
            j = queue[head++];              // 出队列。j是顶点的序号
            tops[index++] = mVexs[j].data;  // 将该顶点添加到tops中,tops是排序结果
            node = mVexs[j].firstEdge;      // 获取以该顶点为起点的出边队列
    
            // 将与"node"关联的节点的入度减1;
            // 若减1之后,该节点的入度为0;则将该节点添加到队列中。
            while(node != NULL)
            {
                // 将节点(序号为node->ivex)的入度减1。
                ins[node->ivex]--;
                // 若节点的入度为0,则将其"入队列"
                if( ins[node->ivex] == 0)
                    queue[rear++] = node->ivex;  // 入队列
    
                node = node->nextEdge;
            }
        }
    
        if(index != mVexNum)
        {
            cout << "Graph has a cycle" << endl;
            delete queue;
            delete ins;
            delete tops;
            return 1;
        }
    
        // 打印拓扑排序结果
        cout << "== TopSort: ";
        for(i = 0; i < mVexNum; i ++)
            cout << tops[i] << " ";
        cout << endl;
    
        delete queue;
        delete ins;
        delete tops;
    
        return 0;
    }

    说明:
    (01) queue的作用就是用来存储没有依赖顶点的顶点。它与前面所说的Q相对应。
    (02) tops的作用就是用来存储排序结果。它与前面所说的T相对应。

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