位运算

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(bit)是度量信息的单位，包含(0)和(1)两种状态。计算机的各种运算最后无不归结为一个个(bit)的变化。熟练掌握并利用位运算，能够帮助我们理解程序运行中的种种表现，提高程序运行时的时空效率，降低编程时间复杂度。

——选自《算法进阶指南》

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而如此功能的位运算，常见的无非也就六种：

1. 与（&） 2.或（|） 3.非（~）

4.异或（^） 5.左移（<<） 6.右移（>>）

至于功能，大家都很熟了，就不再赘述。

OK，位运算讲解结束，全篇完！

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还是来讲讲例题吧，不然毫无感觉。。。

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例题1：P6225 异或橙子

一句话题意：求一个序列区间中所有子区间异或和的异或和。

好像有点拗口？就是说：

一区间为(a_1)~(a_3),

(ans~=~a_1~xor~a_2~xor~a_3~xor~(a_1~xor~a_2)~xor~(a_2~xor~a_3)~xor~(a_1~xor~a_2~xor~a_3))

第一眼看过去，就三个字：不可做！但我仔细看了看，有一个惊人发现：我还是不会。

没办法，找找规律试试：

1.区间为(a_1)~(a_3Rightarrow~ans=a_1~xor~a_3)

2.区间为(a_1)~(a_4Rightarrow~ans=0)

3.区间为(a_1)~(a_5Rightarrow~ans=a_1~xor~a_3~xor~a_5)

4.区间为(a_1)~(a_6Rightarrow~ans=0)

突然我又有了惊人的发现：区间长度为偶数时答案为(0),区间长度为奇数时答案为所有下标为奇数的权值的异或和！

然后现实又给了我一巴掌：

5.区间为(a_2)~(a_7Rightarrow~ans=a_2~xor~a_4~xor~a_6)

这次错不了，答案为区间内所有与端点下标奇偶性相同的权值的异或和。（端点不同则答案为(0)）

有了这个性质，我们就可以用两颗线段树或树状数组，保存奇数和偶数的异或和，进行查询和修改

然后。。没有然后了。。。

呸，然后手起，码落：

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
using namespace std;
const int N=200005;
int n,m,a[N],val[N][2];
inline void add(int x,int y,bool yor)
{
	for(;x<=n;x+=lowbit(x))
		val[x][yor]^=y;
}
inline int ask(int x,bool yor)
{
	re int sum=0;
	for(;x>0;x-=lowbit(x))
		sum^=val[x][yor];
	return sum;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(re int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),add(i,a[i],i&1);
	for(re int type,l,r;m--;)
	{
		scanf("%d%d%d",&type,&l,&r);
		if(type==1)	add(l,a[l],l&1),add(l,r,l&1),a[l]=r;
		else printf("%d
",((r-l+1)&1)?ask(r,r&1)^ask(l-2,l&1):0);
	}
	return 0;
}

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再来一道绝世好题咋样？？？

例题2：P4310 绝世好题

还是一句话题意：求一段长度为(n)区间的最长子区间长度，使其满足(a_i~&~a_{i+1}!=0)

有没有感觉似曾相识？好像最长上升子序列是变成了最长“与后非零”子序列。

(nle10^5)，没法与最长上升子序列一样(O(n^2))求答案，还是毫无头绪。。

不对，曾记否？学长说过，它(O(nlogn))也能求！

但蒟蒻的我从未打过(O(nlogn))求最长上升子序列。。

慢着，等我去学学再来。

所以各位读者：休息一下，马上回来！

OK，咱们继续，

(O(nlogn))的最长上升子序列与之前不同，保存的不是(a_i)最大能排在第几位，而是排在第(i)位的数最小可以为多少。

那我们依葫芦画瓢，保存。。（额，还是不会

突然想起来这章讲的是位运算！与的运算法则又是同一为一，其余为零，那我们保存子序列最后一项二进制下第(i)位为(1)的最大长度，然后转移方程就出来了：

(f_j=max{f_j}+1(0le jle 32))((a_i)在二进制下第(j)位为(1))

然后我们就A了一道绝世好题。。

手起，码落：

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
using namespace std;
int n,a,f[40],ans;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(re int i=1,maxx;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a);maxx=0;
		for(re int j=0;j<=32;j++)
			if((a>>j)&1)maxx=max(maxx,f[j]+1);
		for(re int j=0;j<=32;j++)
			if((a>>j)&1)f[j]=maxx;
	}
	for(re int i=0;i<=32;i++)ans=max(f[i],ans);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

讲完了，不容易呀，给个赞在走不，QWQ~