加解密学习之--模运算与经典密码学

密码学

模运算和经典密码学

a = r mod m
a = q*m + r

1. 余数不唯一
   12 = 3 mod 9
   12 = 21 mod 9
   12 = -6 mod 9
   {...3,12,21,30...}

2. 上面的组合就是等价类，比如模数9还存在另外8个等价类。
   {...0,10,19...}

   {...1,10,19...}

   ...

   {...8,17,26...}

余数的选择

一般 0 ≤ r ≤ m − 1

整数环

1. The set Zm = {0,1,2,...,m−1}
2. Two operations “+” and “×” for all a, b ∈ Zm such that:
   
   1.a + b ≡ c mod m,(c ∈ Zm)
   
   2.a × b ≡ d mod m,(d ∈ Zm)

ie:Z9 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

6 + 8 = 14 ≡ 5 mod 9

6 × 8 = 48 ≡ 3 mod 9

整数环的下列特性：

• 任何两数相加或相乘的结果都在环里面，闭环。
• 加乘都可以叠加
• 总有元素0符合加法规则，a + 0 = a mod m
• 对任何元素a总有一个负元素-a，使得 a+(-a) = 0 mod m
• 总有元素1符合乘法规则，a*1 = a mod m
• ...

位移加密(凯撒加密)

把26个字母编码 0到25
然后得到整数环 Z26

Definition 1.4.3 Shift Cipher

Let x,y,k ∈ Z26.

Encryption:$e_k(x) = x+k mod 26$.

Decryption:$d_k(y) = x-k mod 26$.

ATTACK 就是 0，19，19，0，2，10
如果k = 17,右移动17位，密文就是rkkrtb,

很不安全，通过暴力破解和词频分析就很容易解决

仿射加密

Definition 1.4.4 Affine Cipher

Let x,y,a,b ∈ Z26

Encryption: $e_k(x) = y = a imes x+b mod 26$.

Decryption: $d_k(y) = x = a^{-1} imes (y-b) mod 26$.

with the key: k = (a, b), which has the restriction: gcd(a, 26) = 1

解密过程根据加密过程可以轻松得出：

$ a imes x+b = y mod 26$

$ a imes x = (y-b) mod 26 $

$x = a^{-1} imes (y-b) mod 26$

百度

c++仿射加密

#include <iostream> //仿射加密，sorcery --> welcylk
using namespace std;
#include <string.h>
int Fsenc(char s[])
{
    int i = 0;
    int a[99];
    char *p = s;
    while (*p != '')
    {
        a[i] = s[i] - 'a';           // 字符转换为数字
        a[i] = (11 * a[i] + 6) % 26; // 仿射加密函数
        s[i] = a[i] + 'a';           // 数字转换为字符
        i++;
        p++;
    }
    return 1;
}
int Fsdec(char s[])
{
    int i = 0;
    int a[99];
    char *p = s;
    while (*p != '')
    {
        a[i] = s[i] - 'a';            // 字符转换为数字
        a[i] = (19 * a[i] + 16) % 26; // 仿射解密函数
        s[i] = a[i] + 'a';            // 数字转换为字符
        i++;
        p++;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    char s[99];
    gets(s);
    Fsenc(s);
    cout << "加密后:";
    for (int i = 0; i < 7; i++)
    {
        cout << s[i];
        if ((i + 1) % 7 == 0)
            cout << endl;
    }
    Fsdec(s);
    cout << "解密后明文:";
    for (int i = 0; i < 7; i++)
    {
        cout << s[i];
        if ((i + 1) % 7 == 0)
            cout << endl;
    }
}