算法第二章上机实践报告

                           7-1 最大子列和问题                                                           

给定K个整数组成的序列{ N​1​​, N​2​​, ..., N​K​​ }，“连续子列”被定义为{ N​i​​, N​i+1​​, ..., N​j​​ }，其中 1。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。

例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

问题应这样解释：从给定一个数组中 ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），然后返回其最大和（应该是要大于等于零）。

int findmax(int *a,int left,int right)
{
    if(left==right) return a[left];
    
    int mid=(left+right)/2;
    int lmax=findmax(a,left,mid);
    int rmax=findmax(a,mid+1,right);
    
    int add=0,addl=a[mid],addr=a[mid+1];
    
    for(int i=mid;i>=left;i--)
    {
        add+=a[i];
        if(add>addl) addl=add;
    }
    add=0;
    for(int i=mid+1;i<=right;i++)
    {
        add+=a[i];
        if(add>addr) addr=add;
    }
    
    return maxnum(addl+addr,addl,addr);
}

函数 findmax 是核心递归代码，利用了递归分治的思想，每次递归进行三大步的操作，首先求出中点值，并从当前中心点向左搜索找出最大子序列和，然后从当前中心点向右搜索找出最大子序列和，最后以中心点下标分别向右和向左遍历找出最大子序列和，上述三者的最大值作为本层递归的返回值给上一层递归进行调用。实质上是从大(范围)到小（递归分解），再由小到大（返回求和）。

每次将问题分解为两个子问题，每个子问题的长度为原问题的一半,递归本身的时间复杂度最坏情况下应为为O(log2 n)，最后一次找到要找的数；

对于n个元素的情况：

第一次二分：n/2
第二次二分：n/2^2= n/4
......
m次二分：n/(2^m)
在最坏情况下是在排除到只剩下最后一个值之后得到结果，所以为
n/(2^m)=1;
2^m=n;

 

且每次递归中，有有限个O(1)操作，有两个循环体，一个是从头到中间，另外一个是从中间到尾部， 所以加起来时间复杂度就是 O(n)。

所以时间复杂度为：O(n*logn）；

 

空间复杂度为O（1）；

 心得：这道题比较经典，能使用分治法的题目也是万变不离其宗，先要思考好若是使用递归算法，返回什么值，分治操作范围是由大到小（求精确值），还是先由大到小再由小到大（求和），每次递归中有哪些步骤，这些步骤的先后顺序，以及递归调用的参数如何设置，考虑好这些，使用分治法处理一些比较简单的问题就能很快的梳理好算法思想。