关于非二进制的补码与反码

有师弟来问导论作业，刚好最近数电也才复习过相关的内容，顺手整理复述一下查到的东西。

关于名称

补码应该叫Diminished Radix Complement，而反码则是Radix Complement。最常见的所谓1's complement与2's complement其实是是相对于2进制而言。

也就是说，对于2进制，Diminished Radix Complement可称1's complement，Radix Complement可称2's complement。那么对于8进制，Diminished Radix Complement应称作7's complement而Radix Complement则为8's complement。

注意，2's complement这个名字对于2进制指的是补码，而对于3进制就是反码了，以此类推。

计算方法

Diminished Radix Complement的算法

　　设位数为n，需要计算的数字为N，属于r进制，则其反码（(r-1)'s complement）为
　　(rⁿ – 1) – N
计算时，rⁿ-1用同样的进制表示比较方便，比如三位的10进制10⁵-1就是99999，8进制的8⁵-1就是(77777)₈

比如
　　(AA)₁₆的反码（15's complement）是(FF)₁₆ - (AA)₁₆ = (55)₁₆
　　(546700)₁₀的反码（9's complement）是(999999)₁₀ – (546700)₁₀ = (453299)₁₀
　　(017)₈的反码（7's complement）是(777)₈ - (017)₈ = (760)₈
　　(1011000)₂的反码（1's complement）是(1111111)₂ - (1011000)₂ = (0100111)₂

这意味着一个数加上自己的反码得到的是rⁿ-1，也就是10进制的99999，8进制的(77777)₈这样

Radix Complement的算法

　　都和2进制的2's complement一样，Radix Complement=Diminished Radix Complement + 1
　　或者说是(rⁿ – 1) – N + 1，简化一下就是rⁿ – N，不过用前者借位一般比较少（试想999-621与1000-621，哪个好算？），更加方便。

　　(AA)₁₆的补码（16's complement）是(FF)₁₆ - (AA)₁₆ + 1 = (56)₁₆
　　(546700)₁₀的补码（10's complement）是(999999)₁₀ – (546700)₁₀ + 1= (453300)₁₀
　　(017)₈的补码（8's complement）是(777)₈ - (017)₈ + 1 = (761)₈
　　(1011000)₂的补码（2's complement）是(1111111)₂ - (1011000)₂ + 1 = (0101000)₂

这意味着一个数加上自己的补码得到的是rⁿ，也就是一个1跟着一堆0，比如10进制的100000，8进制的(10000)₈之类。

参考资料：http://www2.southeastern.edu/Academics/Faculty/galkadi/297/notes/chapter1.doc（应当来自于M.Morris.Mano的一本书）