统计学习方法（四）——朴素贝叶斯法

/*先把标题给写了、这样就能经常提醒自己*/

题记：今天下午去上厕所的一会儿时间，就把第四章给扫完了，说是扫完了主要是因为没有深入去看，对于某些证明都直接跳过了，看了一下里面的例子，大概懂个意思就行了

1. 朴素贝叶斯法

　　设输入空间为维向量的集合，输出空间为类标记集合，输入特征向量，输出类标记为，是和的联合概率分布，数据集

由独立同分布产生。

　　朴素贝叶斯法就是通过训练集来学习联合概率分布.具体怎么学习呢？ 主要就是从先验概率分布和条件概率分布入手，俩个概率相乘即可得联合概率。

　　为什么称之为朴素呢，主要是其将条件概率的估计简化了，对条件概率分布作了条件独立性假设，这也是朴素贝叶斯法的基石，具体的假设如下

 　　                

此公式在假设条件之下可以等价于

                      

现在， 对于给定的输入向量,通过学习到的模型计算后验概率分布P(Y=Ck|X=x)，后验分布中最大的类作为的输出结果，根据贝叶斯定理可知后验概率为

 

 

上面的公式可能有点歧义，分母的Ck应该写成Cj才对，因为P(X=x)=E P(Y=Cj)*P(X=x|Y=Cj)

而对于所有都是相同的，即此可以将输出结果简化为

                        

至此大概讲解了朴素贝叶斯的基本方法步骤了，关于参数估计还有具体实例下次再写了。夏天真热啊！

2. 参数估计

  2.1 极大似然估计

上一小节讲了对于给定的输入向量，其输出结果可表示为

                         

对此可应用极大似然估计法来估计相应的概率，如先验概率的极大似然估计是

                        

设第个特征可能取值的集合为，条件概率的极大似然估计是

                       

公式看起来可能有点不实在，还是直接上例子来说明吧！

 

例子：试由下表的训练数据学习一个朴素贝叶斯分类器并确定的类标记，表中为特征，为类标记。

解：先验概率，

条件概率，

据此可算出是后验分布中值最大的，也就是最终的类标记为-1

   2.2 贝叶斯估计

　　极大似然估计的一个可能是会出现所要估计的概率值为0的情况，这时会影响到后验概率的计算结果，解决这一问题的方法是采用贝叶斯估计，具体的只需要在极大似然估计的基础上加多一个参数即可。懒得继续写公式了，不想写了，刚刚码完代码!!

有兴趣的可以看一下具体的代码实现

package org.juefan.bayes;

import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

import org.juefan.basic.FileIO;
/**
 * 这是一个简易的贝叶斯分类器
 * 只适用于离散数据，连续型数据的暂时请先绕道了^.^
 * @author JueFan
 */
public class NaiveBayes{

    //平滑指数, 默认为拉普拉斯平滑，极大似然估计则为0
    private static double Lambda  = 1; 
    //存储先验概率数据
    private Map<Object, Double> PriorProbability = new HashMap<>();
    //存储条件概率数据
    private Map<Object, ArrayList<Map<Object, Double>>> ConditionProbability = new HashMap<>();

    /**
     * 计算类别的先验概率
     * @param datas 
     */
    public void setPriorPro(ArrayList<Data> datas){
        int counts = datas.size();
        for(Data data: datas){
            if(PriorProbability.containsKey(data.y)){
                PriorProbability.put(data.y, PriorProbability.get(data.y) + 1);
            }else {
                PriorProbability.put(data.y, (double) 1);
            }
        }
        for(Object o: PriorProbability.keySet())
            PriorProbability.put(o, (PriorProbability.get(o) + Lambda)/(counts + Lambda * PriorProbability.size()));
    }

    /**
     * 计算条件概率
     * @param datas
     */
    public void setCondiPro(ArrayList<Data> datas){
        Map<Object, ArrayList<Data>> tmMap = new HashMap<>();
        //按类别先将数据分类存放
        for(Data data: datas){
            if(tmMap.containsKey(data.y)){
                tmMap.get(data.y).add(data);
            }else {
                ArrayList<Data> tmDatas = new ArrayList<>();
                tmDatas.add(data);
                tmMap.put(data.y, tmDatas);
            }
        }
        //条件概率主体
        for(Object o: tmMap.keySet()){
            ArrayList<Map<Object, Double>> tmCon = new ArrayList<>();
            int LabelCount = tmMap.get(o).size();
            //计算每个特征的相对频数
            for(Data data: tmMap.get(o)){
                for(int i = 0; i < data.x.size(); i++){
                    if(tmCon.size() < i + 1){
                        Map<Object, Double> tmMap2 = new HashMap<>();
                        tmMap2.put(data.x.get(i), (double) 1);
                        tmCon.add(tmMap2);
                    }else {
                        if(tmCon.get(i).containsKey(data.x.get(i))){
                            tmCon.get(i).put(data.x.get(i), tmCon.get(i).get(data.x.get(i)) + 1);
                        }else {
                            tmCon.get(i).put(data.x.get(i),  (double) 1);
                        }
                    }
                }
            }
            //计算条件概率
            for(int i = 0; i < tmCon.size(); i++){
                for(Object o1: tmCon.get(i).keySet()){
                    tmCon.get(i).put(o1, (tmCon.get(i).get(o1) + Lambda)/(LabelCount + Lambda * tmCon.get(i).size()));
                }
            }
            ConditionProbability.put(o, tmCon);
        }
    }

    /**
     * 判断实例的类别
     * @param data
     * @return 判断结果
     */
    public Object getLabel(Data data){
        Object label = new Object();
        double pro = 0D;
        for(Object o: PriorProbability.keySet()){
            double tmPro = 1;
            tmPro *= PriorProbability.get(o);
            for(int i = 0; i < data.x.size(); i++){
                tmPro *= ConditionProbability.get(o).get(i).get(data.x.get(i));
            }
            if(tmPro > pro){
                pro = tmPro;
                label = o;
            }
            System.out.println(o.toString() + " :的后验概率为: " + tmPro);
        }
        return label;
    }

    public static void main(String[] args) {
        ArrayList<Data> datas = new ArrayList<>();
        FileIO fileIO = new FileIO();
        fileIO.setFileName(".//file//bayes.txt");
        fileIO.FileRead();
        for(String data: fileIO.fileList){
            datas.add(new Data(data));
        }

        NaiveBayes bayes = new NaiveBayes();
        bayes.setPriorPro(datas);
        bayes.setCondiPro(datas);

        Data data = new Data("1	2	S");
        System.out.println(data.toString() + "	的判断类别为: " + bayes.getLabel(data));
    }
}

 对代码有兴趣的可以上本人的GitHub查看：https://github.com/JueFan/StatisticsLearningMethod/