裴蜀定理(gcd)

简介：

若$a, b$是整数，且$gcd(a, b) = d$，那么对于任意整数$x, y, ax+by$都一定是$d$的倍数。特别地，一定存在整数$x, y$，使$ax+by=d$成立

重要推论：
$a, b$互质的充要条件是存在整数$x, y$，使得$ax+by=1$

ｎ个整数之间的裴蜀定理：

设有$a_1, a_2, ...., a_n$ $n$个整数，d是他们的最大公约数，那么存在整数$x_1, x_2, ..., x_n$使得$x_1a_1 + x_2a_2 + ... + x_na_n = d$

特别地，如果$a_1, a_2, ...., a_n$互质(不是两两互质），那么存在整数$x_1, x_2, ....., x_n$，使得$x_1a_1 + x_2a_2 + ..... + x_na_n = 1$

定理：

对任意整数$a,b$和他们的最大公约数$d$，关于未知数$x,y$的线性方程$ax+by=m$，有且当且仅当$m$是$d$的倍数。又揭示必然有无穷多组解，每组解$x, y$都可由辗转相除法求得

特别来说，$ax+by=1$有解当且仅当$a,b$互质