转载自https://blog.csdn.net/weixin_43902449/article/details/88605417（代码部分除外）
一.算法简介
SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法是求单源最短路径的一种算法，它是 Bellman-Ford 的队列优化，它是一种十分高效的最短路算法。外号斯（S）普（P）发（FA）。
很多时候，给定的图存在负权边，这时类似 Dijkstra 等算法便没有了用武之地，而 Bellman-Ford 算法的复杂度又过高，SPFA 算法便派上用场了。
在段凡丁的论文中，SPFA 的复杂度是 (mathcal O(km))，其中 (k) 是一个常数。但后来被人指出复杂度证明有错误，最坏情况下还是会退化到 (mathcal O(nm))。NOI2018 D1T1 的出题人卡掉了 SPFA，于是就有了这个梗：
不过 SPFA 还是要学的。
接下来讲一下算法流程。建立一个队列，初始时队列里只有起始点，在建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为 (0)）。然后执行松弛操作，用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。
此外，SPFA 算法还可以判断图中是否有负权环，即一个点入队次数超过 (n)。
二.算法图解
给定一个有向图，求 (A o E) 的最短路。
源点 (A) 首先入队，并且 (A o B) 松弛。
扩展与 (A) 相连的边，(B,C) 入队并松弛。
(B,C) 分别开始扩展，(D) 入队并松弛。
(D) 出队，(E) 入队并松弛。
(E) 出队，此时队列为空，源点到所有点的最短路已被找到，(A o E) 的最短路即为 (8)。
三、代码实现
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
queue<int> que;
const int N=10010,M=10010;
int n,m,tot;
int head[N],edge[M],ver[M],nxt[M],dis[N];
bool book[N];
void add(int x,int y,int z)
{
ver[++tot]=y;
edge[tot]=z;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void spfa()
{
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(book,0,sizeof(book));
dis[1]=0;
book[1]=true;
que.push(1);
while(que.size())
{
int x=que.front();que.pop();
book[x]=false;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=ver[i],z=edge[i];
if(dis[y]>dis[x]+z)
{
dis[y]=dis[x]+z;
if(!book[y])
{
que.push(y);
book[y]=true;
}
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
}
spfa();
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);
return 0;
}
四、例题
模板题:hdu2680
思路:设置一个零点，将零点和所有起点的距离都设成 (0)，然后对零点跑一遍 SPFA 即可。
code:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
queue<int> que;
const int N=1010,M=20010;
int n,m,tot,ed;
int head[N],edge[M],ver[M],nxt[M],dis[N];
bool book[N];
#define C(n) memset(n,0,sizeof(n))
void add(int x,int y,int z)
{
ver[++tot]=y;
edge[tot]=z;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void spfa()
{
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(book,0,sizeof(book));
dis[0]=0;
book[0]=true;
que.push(0);
while(que.size())
{
int x=que.front();que.pop();
book[x]=false;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=ver[i],z=edge[i];
if(dis[y]>dis[x]+z)
{
dis[y]=dis[x]+z;
if(!book[y])
{
que.push(y);
book[y]=true;
}
}
}
}
}
int main()
{
while(~scanf("%d %d %d",&n,&m,&ed))
{
tot=0;
C(head);
C(nxt);
C(edge);
C(ver);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
}
int q;
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++)
{
int tmp;
scanf("%d",&tmp);
add(0,tmp,0);
}
spfa();
if(dis[ed]!=0x3f3f3f3f) printf("%d
",dis[ed]);
else puts("-1");
}
return 0;
}