先介绍几个概念：
环覆盖：用若干个不相交的环，覆盖所有的点。
有向偶环覆盖（Even Directed Cycle Cover，简称EDCC）：环覆盖中所有的环都是偶环，并且给所有的环定向。
定理：任意两个完美匹配的方案，都对应一个有向偶环覆盖的方案。于是有(|PM|^2=|EDCC|)（PM：prefect matching，即完美匹配）。
现在的问题是找(EDCC)的个数。
给每个点连出去一条边，并且要求每个点的度数为(1)。这样可以形成一个轮换，对应置换（排列）(pi)。
设(A)为某个矩阵，计算(pi)对(det(A))的贡献。则贡献为(sgn(pi)val(pi)=sgn(pi)prod A_{i,pi(i)})。
问题是构造出矩阵使得只有(pi)对应着一个(EDCC)的时候才有贡献。
考虑给原图定向，对于有向边((u,v))，钦定(A_{u,v}=1,A_{v,u}=-1)，如果((u,v) otin E)，则(A_{u,v}=0)。
如此定义(A)之后：
- 如果存在((i,pi(i)) otin E)，则贡献为(0)。
- 如果(pi)对应的轮换中有个奇环(C)，那么存在(pi')，对于任意(iin C)，满足(pi(pi'(i))=i)（也就是说(pi')是(pi)将轮换(C)反向），则有(sgn(pi)=sgn(pi'))和(val(pi)=-val(pi'))。贡献将会互相抵消。
因此只有(EDCC)的贡献才会被计算到。
被计算到，我们希望贡献(sgn(pi)val(pi)=1)，现在的目的是给图定向使得它满足这个条件。
接下来就是FKT算法：
- 给图(G)建一棵生成树(T)，生成树内的边任意定向。
- 建另一个图(G2)，(G2)中的每个点对应(G)中的一个面，((u,v)in E_{G2})当且仅当分割着(u)和(v)的边不在(E_T)中。显然(G2)也是一棵树。
- 从(G2)的叶子结点开始操作，调整对应(G)的面的面上不在(T)中的边，使得面上的顺时针的边个数为奇数。
显然通过这样操作之后(G)内所有的面（不包括最外面的那个），面上顺时针的边的个数都为奇数。
可以证明：这样构图之后，所有的(EDCC)都满足：对于(EDCC)中的环，顺时针的边的个数都为奇数。
首先根据平面图欧拉定理，可以得知：(e=v+f-1)，其中(v)为环内（不包括环上）的点数，(f)环内的面数，(e)为环内的边数（不包括环上）。
设环中顺时针边的个数为(c)，环内面的顺时针边的个数为(c_i)。归纳：由(c_iequiv 1pmod 2)得(fequiv sum c_ipmod 2)，又由于(sum c_iequiv c+e)（内部每条边两边个连着一个面，它必定是其一的顺时针边），得(fequiv c+eequiv c+v+f-1pmod 2)，所以(cequiv v-1pmod 2)。因为(2|v)（否则内部不能形成(EDCC)），所以(cequiv 1pmod 2)。
于是，对于每个(EDCC)，有(sgn(pi)val(pi)=((-1)(-1))^k=1)的贡献（(k)为环数）（由于给行列式同时交换两行和交换两列行列式不变，给轮换重标号后，偶环能给(sgn(pi))贡献(-1)）。
梳理一下，总的过程就是：
- 跑FKT算法，给边定向。
- 搞出矩阵(A)，算行列式。
时间复杂度是(O(n^3))。