节点之间的路径长度：在树中从一个结点到另一个结点所经历的分支，构成了这两个结点间的路径上的经过的分支数称为它的路径长度。
树的路径长度：从树的根节点到树中每一结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。
结点的权：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数。
结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。
树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree：WPL)：定义为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。
最优二叉树：从已给出的目标带权结点(单独的结点) 经过一种方式的组合形成一棵树.使树的权值最小.。最优二叉树是带权路径长度最短的二叉树。根据结点的个数，权值的不同，最优二叉树的形状也各不相同。它们的共同点是：带权值的结点都是叶子结点。权值越小的结点，其到根结点的路径越长，深度越大。
(a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
(b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46
(c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35
可以验证其中(c)树的WPL最小，可以验证，它就是哈夫曼树。
注意：
① 叶子上的权值均相同时，完全二叉树一定是最优二叉树，否则完全二叉树不一定是最优二叉树。
② 最优二叉树中，权越大的叶子离根越近。
③ 最优二叉树的形态不唯一，WPL最小。
二、利用哈夫曼树来进行哈夫曼编码
哈夫曼编码通常用来实现数据压缩，编码时，我们通常希望出现次数最多的字符所占的内存位数最少。但是如果字符位太少又会导致他能够表示的实际字符数不够，因为每一位只有0和1两个状态，n位有2的n次方个状态。所以采用定长编码时数据压缩率不是很高。使用哈夫曼编码可以解决这个问题。
下面是一个编码实例：
原句子为SUSIE SAYS IT IS EASY
句子中每个字符出现次数
相应的哈夫曼编码：
可以看出出现频率越高的字符所用的编码字符数越少。
创建哈夫曼树：
1.设计节点类Node：
Node中包含两个数据项：存储的字符和字符出现的频率（也就是权值）。
2、为每一个字符创建一个相应的Node对象，并把为其创建一个单独的树，树的根就是当前的节点。N个字符就创建N个相应的树。
3、把这些树都插入一个优先级队列中，按照权值排列。权值小的优先级高，排在队列的前方。每次移除队列的一项时，都是移除权值最小的那颗树。
4、从优先级队列中按顺序移除两个树，并将其作为一个新节点的两个子节点。新节点的权值（频率）是这两个子节点的权值和，至于新节点中存储的字符可以设为空。
5、把第四步形成的新树重新插入优先级队列中（自动插入到了相应位置）。
6、重复第四步和第五步，直到队列中只剩一棵树，这棵树就是要创建的哈夫曼树。
图解：
最后将图h中的两个树合并为1个就得到哈夫曼树。
根据哈夫曼树得到哈夫曼编码表：
所有字符在哈夫曼树中都被表示为树中的叶结点。遍历所有叶结点即可得到相应字符的哈夫曼编码，从而形成编码表。编码规则：从根节点到叶结点，记录向左和向右走的顺序，向左走用0表示，向右走用1表示。到达叶结点时的01字符串就是对应的哈夫曼编码。
例如字符U的编码是01111，字符Y的编码是1110。
代码实现：
Node节点代码，此处权值放到了Tree中。
class Node {
public char cchar; //存储的字符
public Node leftChild; // 左子结点引用
public Node rightChild; // 右子节点引用
public Node() {
}
public Node(char c) {
cchar = c;
}
public void displayNode() // 输出节点信息
{
System.out.print('{');
System.out.print(cchar);
System.out.print("} ");
}
}
class Tree implements Comparable {
public Node root; // 根节点
public int weight; // 权重
// -------------------------------------------------------------
public Tree() // 无参构造函数
{
root = null;
}
public String toString() {//转换为字符串
return root.cchar + "";
}
// -------------------------------------------------------------
public void traverse(int traverseType) { // 三种遍历
switch (traverseType) {
case 1:
System.out.print("
Preorder traversal: ");
preOrder(root);
break;
case 2:
System.out.print("
Inorder traversal: ");
inOrder(root);
break;
case 3:
System.out.print("
Postorder traversal: ");
postOrder(root);
break;
}
System.out.println();
}
// -------------------------------------------------------------
private void preOrder(Node localRoot) {//先序遍历
if (localRoot != null) {
System.out.print(localRoot.cchar + " ");
preOrder(localRoot.leftChild);
preOrder(localRoot.rightChild);
}
}
// -------------------------------------------------------------
private void inOrder(Node localRoot) {//中序遍历
if (localRoot != null) {
System.out.print("(");
inOrder(localRoot.leftChild);
System.out.print(localRoot.cchar + " ");
inOrder(localRoot.rightChild);
System.out.print(")");
}
}
// -------------------------------------------------------------
private void postOrder(Node localRoot) {//后序遍历
if (localRoot != null) {
postOrder(localRoot.leftChild);
postOrder(localRoot.rightChild);
System.out.print(localRoot.cchar + " ");
}
}
// -------------------------------------------------------------
public void displayTree() { //利用栈输出树
Stack globalStack = new Stack();
globalStack.push(root);
int nBlanks = 32;
boolean isRowEmpty = false;
System.out
.println("......................................................");
while (isRowEmpty == false) {
Stack localStack = new Stack();
isRowEmpty = true;
for (int j = 0; j < nBlanks; j++)
System.out.print(' ');
while (globalStack.isEmpty() == false) {
Node temp = (Node) globalStack.pop();
if (temp != null) {
System.out.print(temp.cchar);
localStack.push(temp.leftChild);
localStack.push(temp.rightChild);
if (temp.leftChild != null || temp.rightChild != null)
isRowEmpty = false;
} else {
System.out.print("--");
localStack.push(null);
localStack.push(null);
}
for (int j = 0; j < nBlanks * 2 - 2; j++)
System.out.print(' ');
} // end while globalStack not empty
System.out.println();
nBlanks /= 2;
while (localStack.isEmpty() == false)
globalStack.push(localStack.pop());
} // end while isRowEmpty is false
System.out
.println("......................................................");
} // end displayTree()
// -------------------------------------------------------------
@Override
public int compareTo(Object o) { //重写比较函数
if (o == null) {
return -1;
}
return weight - ((Tree) o).weight;
}
} // end class Tree
// //////////////////////////////////////////////////////////////Huffman编码主体：
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.HashMap;
import java.util.Iterator;
import java.util.Map;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Queue;
import java.util.Set;
import java.util.TreeMap;
public class Huffman {
public static Map<Character, String> map_char_code;//key为字符（Character是char类型的类封装），value为相应的哈夫曼编码
public static Map<String, Character> map_code_char;//key为哈夫曼编码，value为相应的字符
static {
map_char_code = new HashMap<Character, String>(); // 编码用代码表
map_code_char = new HashMap<String, Character>(); // 解码用代码表
}
// 编码分为四步
// 1.统计字符频率
// 2.生成Huffman树
// 3.生成编解码用代码表
// 4.编码字符串
//编码函数
public static String encode(String str) {
char[] cchar = str.toCharArray();//将待编码的字符串转为字符数组。
// 1.统计字符频率
TreeMap<Character, Integer> map = new TreeMap<Character, Integer>();
//TreeMap是有序的，按照key来进行排序。Character类中实现了Comparable接口，该接口中只有一个
//public int compareTo(T o);方法，对象的大小关系由返回值来确定，返回负整数，零，正整数表示当前对象小于，
//等于，大于指定对象。这里按照字典顺序排序。
for (int i = 0; i < cchar.length; i++) {
if (map.containsKey(cchar[i])) {//map中包含该字符
map.put(cchar[i], map.get(cchar[i]).intValue() + 1);//统计数加1
} else {
map.put(cchar[i], 1);//加入新字符，频率设为1
}
}
// 2.生成Huffman树
// 先由所有字符生成单节点树
// 然后根据优先级合成单节点树为一棵树
Queue<Tree> forest = new PriorityQueue<Tree>();//定义一个队列，存储数据类型为树
Set<Map.Entry<Character, Integer>> set = map.entrySet();
/* Set<Map.Entry<Character, Integer>> set = map.entrySet();返回映射所包含的映射关系的Set集合（一个关系就是一个键-值对），就是把(key-value)作为一个整体一对一对地存放到Set集合当中的。entrySet是 键-值对的集合，Set里面的类型是Map.Entry
*/
Iterator<Map.Entry<Character, Integer>> it = set.iterator();//转为迭代器
while (it.hasNext()) { // 遍历迭代器，生成单节点树
Map.Entry<Character, Integer> en = it.next();
Tree temp = new Tree();
temp.root = new Node(en.getKey());//创建相应节点为树的根
temp.weight = en.getValue();//设置权重
forest.add(temp);//加入队列
//因为Tree实现了Comparable接口，重写了CompareTo的方法，所以在加入队列时，会比较权重。最后形成基于权重的优先级队列。
}
while (forest.size() > 1) { // 把单节点树合并为一棵树
Tree t1 = forest.remove();//移除第一个数据项
Tree t2 = forest.remove();//移除第二个数据项
Tree t3 = new Tree();
t3.root = new Node();
t3.weight = t1.weight + t2.weight;//新节点的权重是子节点之和
t3.root.leftChild = t1.root;
t3.root.rightChild = t2.root;
forest.add(t3); //重新加入队列
}
Tree t = forest.remove(); // 获得队列中最后一棵树，也就是哈夫曼树
// 3.生成编码和解码用的map
String code = "";
preOrder(t.root, code, map_char_code, map_code_char);
// 4.编码字符串
StringBuffer output = new StringBuffer();
for (int i = 0; i < cchar.length; i++) {//获取每个字符的哈夫曼编码
output.append(map_char_code.get(cchar[i]));//append(String str)，连接一个字符串到末尾。
}
return output.toString();//转为字符串
}
// 遍历Huffman树生成编码和解码代码表
private static void preOrder(Node localRoot, String code,
Map<Character, String> map_char_code,
Map<String, Character> map_code_char) {
if (localRoot != null) {
if (localRoot.cchar != ' ') {//' '代表空字符,在哈夫曼树，非叶节点没存储数据，相应的cchar为空。所以程序只操作了叶结点
map_char_code.put(localRoot.cchar, code);//加入编码表
map_code_char.put(code, localRoot.cchar);//加入解码表
}
preOrder(localRoot.leftChild, code + "0", map_char_code,
map_code_char);//向左走code末尾加上0
preOrder(localRoot.rightChild, code + "1", map_char_code,
map_code_char);//向右走code末尾加上1
}
}
// 解码
// 根据解码代码表还原信息
public static String decode(String str) {
StringBuffer result = new StringBuffer();
StringBuffer sb = new StringBuffer();
for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
sb.append(str.charAt(i));
if (map_code_char.get(sb.toString()) != null) {//获取编码对应的字符
result.append(map_code_char.get(sb.toString()));
sb = new StringBuffer();
}
}
return result.toString();
}
public static void main(String[] args) {
String code = encode("SUSIE SAYS IT IS EASY!");
System.out.println(code);
String str = decode(code);
System.out.println(str);
}
// -------------------------------------------------------------
public static String getString() throws IOException {
InputStreamReader isr = new InputStreamReader(System.in);
BufferedReader br = new BufferedReader(isr);
String s = br.readLine();
return s;
}
}
// =============================================================================