斐波那契数列求解

斐波那契数列的定义如下：

当n=0时，F[n]=0;

当n=1时，F[n]=1;

当n>1时，F[n]=F[n-1]+F[n-2];

解法一（动态规划思想）：

int Fib(int n)
{
    int pre1=1;
    int pre2=0;
    if(n==0)
        return 0;
    if(n==1)
        return 1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
   {
        result=pre1+pre2;
        pre2=pre1;
        pre1=result;
   }
   return result;
}

时间复杂度为O(n);

解法二：分治策略

(F(n),F(n-1))=(F(n-1),F(n-2))*A=...=(F(1),F(0))*A^(n-1);

A={{1,1},{1,0}};

转化为求矩阵A的幂。

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
class Matrix2
{
public:
	Matrix2(int a1,int a2,int b1,int b2)
	{
		m11=a1;
		m12=a2;
		m21=b1;
		m22=b2;
	}
	int getm11()const
	{
		return m11;
	}
	int getm12()const
	{
		return m12;
	}
	int getm21()const
	{
		return m21;
	}
	int getm22()const
	{
		return m22;
	}
private:
	int m11;
	int m12;
	int m21;
	int m22;
};
Matrix2 MatrixPow(const Matrix2& m,int n);
int Fib(int n);
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	cout<<Fib(n)<<endl;
	return 0;
}
Matrix2 matmultiply(const Matrix2& mat1,const Matrix2& mat2)
{
	int m11=mat1.getm11()*mat2.getm11()+mat1.getm12()*mat2.getm21();
	int m12=mat1.getm11()*mat2.getm12()+mat1.getm12()*mat2.getm22();
	int m21=mat1.getm21()*mat2.getm11()+mat1.getm22()*mat2.getm21();
	int m22=mat1.getm21()*mat2.getm12()+mat1.getm22()*mat2.getm22();
	return Matrix2(m11,m12,m21,m22);
}
Matrix2 MatrixPow(const Matrix2& mat,int n)
{
	Matrix2 result(1,0,1,0);
	Matrix2 tmp=mat;
	for(; n; n>>=1)
	{
		if(n&1)
			result=matmultiply(result,tmp);
		tmp=matmultiply(tmp,tmp);
	}
	return result;
}
int Fib(int n)
{
	if(n==0)
		return 0;
	else if(n==1)
		return 1;
	Matrix2 mat(1,1,1,0);
	Matrix2 an=MatrixPow(mat,n-1);
	return an.getm11();
}

时间复杂度为O(nlogn);