HNOI 2008 玩具装箱toy（DP + 斜率优化）

题意：

有一堆玩具可以压缩成 Ci 长度，放在容器中，同时一个容器内玩具的编号必须是连续的，每个容器所需要的费用题目中给了，求最小费用。

思路：

1. 网上推导的代码啰里啰嗦的，完全没有理解清楚不变量 i 的真谛，从而对于平方的展开添加了很多不必要的麻烦。

2. dp[i] 表示拿到第 i 件玩具时，所需要的最小费用。当 i 和前面的 x 件连着时，才有有递推式：dp[i] = dp[j] + (i-j-1 + Ci-Cj + L)²;

3. 对平方里面的因式进行必要的化简：S[i] = i + Ci; 于是 dp[i] = dp[j] + (Si - Sj + L - 1)²;

4. 再进行精简，令 m = Si + L - 1; dp[i] = dp[j] + (m - Sj)² = dp[j] + m² - 2*m*Sj + Sj²;

5. 利用斜率优化，此时有 X = Sj, Y = dp[j] + Sj², a = 2*m;  a 满足递增的特性，求 dp[i] 最小。根据下凸函数的特性，利用队列对其进行优化即可，O(N);

6. 要注意的一个边界是 ：当 i 固定， j 可能取 0 时使结果最优，所以对于 0 要提前入队，这样得到总体最优解。

#include <iostream>

#include <stdio.h>

#include <algorithm>

using namespace std;

 

#define LL long long int

 

const int MAXN = 50010;

 

int deq[MAXN];

LL C[MAXN], S[MAXN], dp[MAXN];

 

inline double slope(int i, int j)

{

    return 1.0 * (dp[i] + S[i] * S[i] - dp[j] - S[j] * S[j]) / (S[i] - S[j]);

}

 

int main()

{

    int N, L;

    while (scanf("%d %d", &N, &L) != EOF)

    {

        C[0] = S[0] = 0;

        for (int i = 1; i <= N; ++i)

        {

            scanf("%lld", &C[i]);

            C[i] += C[i-1], S[i] = i + C[i];

        }

 

        int s = 0, e = 0;

        dp[0] = deq[s] = 0;

        for (int i = 1; i <= N; ++i)

        {

            LL m = S[i] - L - 1;

 

            while (s < e && slope(deq[s+1], deq[s]) <= 2 * m)

                ++s;

 

            int j = deq[s];

            dp[i] = dp[j] + (m - S[j]) * (m - S[j]);

 

            while (s < e && slope(deq[e], deq[e-1]) >= slope(i, deq[e]))

                --e;

            deq[++e] = i;

        }

        printf("%lld\n", dp[N]);

    }

    return 0;

}