[bzoj2005][Noi2010][能量采集] (容斥 or 欧拉函数)

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

 

Solution

先证明一下，假设有一个点(x,y)，那么该点到原点连线上点的数量为gcd(x,y)-1

设gcd(x,y)=t,则x=at,y=bt

那么离原点最近且在连线上的点为(a,b)

因此，连线上所有点一次为(a,b)，(2a,2b)，(3a,3b)...

去掉点(x,y)共有t-1个这样的整数点对

那么答案转化为求∑(1<=i<=n)∑(1<=j<=m)gcd(i,j)

可以用欧拉函数，预处理+递推

popoqqq的题解：

考虑容斥原理+递推

设g(x)=公因数为x的点对(i,j)的个数，f(x)=最大公因数为x的点对(i,j)的个数

因此g(x)=n/x * m/x，f(x)=g(x)-∑(i*x<=min(n,m))f(i*x)

所以倒着递推一遍就行了

#include <stdio.h>
int n,m,i,j,mn;long long f[100010],ans;
int main(){
	for(scanf("%d%d",&n,&m),mn=i=n<m?n:m;i;ans+=f[i]*(i+i-1),i--)
		for(f[i]=(long long)(n/i)*(m/i),j=2;i*j<=mn;f[i]-=f[i*j],j++);
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}

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