快速幂算法（二分思想减少连乘次数）

快速幂是什么

如果要我们求某个数的幂 (a^{n}) ，我们的朴素算法，也就是最最简单的做法，自然是先设一个表示最终结果的变量ans，初值为1，然后for循环n次，每次都用a去乘ans啦，最后ans被乘完之后就是我们的幂的结果。但是如果我们这个数很大的话，那么就要进行很多次循环，这样速度是很慢的，所以我们会想要用一种算法来改进，这就叫做快速幂。

快速幂的思路

我们本来的朴素算法中，如上文所说，就需要设一个变量ans，初值为1，用它表示最后的得数，在过程中要乘很多次底数嘛，最后整个幂计算函数就返回该变量。那么在快速幂算法中，我们同样需要首先设一个ans，初值为1。

对于任意一个幂运算 (a^{b}) ，我们的基本思路其实是二分的思想。如果b是偶数，且b/2=c，那么我们可以将 (a^{b}) 转化成 ((a^{2})^{c}) ，也就是指数缩小一半而底数变为原来的两次方。当b很大的时候，这样做就减少了很多次循环（假设b=10000那么就减少了5000次循环）。

但是如果b很大，然后b / 2=c，c也很大，那这个时候还得接着往下除以二，但如果c变成了奇数（或者另一种情况，本来最开始的b就已经是奇数了）这时候应该怎么办呢？

现在要对 (a^{c}) 进行处理，并且c是奇数，那么我们可以在 c 中取一个1出来，也就是说将 (a^{c}) 化为 (a^{c-1} imes a^{1}) 。这样的话c-1又可以对半分了，然后整个式子中就由左边的 (a^{c-1}) 和右边的 (a^{1}) 组成，右边部分已经是1次方了不用再优化，左边的a的偶数次方可以再进行优化。

既然右边部分已经是a的1次方了，没法再优化了，那么每次我们拆出一个a的1次方时，我们就可以直接把它存进上文提到的这个ans中，即ans *= 这个a的一次方。

那么这样二分下去，底数会一直变大，而指数会一直变小，到最后指数肯定会缩小到剩余的部分变为（a的某次方）^2那么它再分解就是两个1次方了，根据我们上面的规则，一旦拆出了指数为1 的乘项，就直接把它乘进ans中。那么最后当指数变为零的时候，循环也就结束了，也就得到了我们所要的结果了。

那么我们可以来看一下上述思想如何实现，计算 (base^{power})就可以这么写：

long long fastpower(long long base, long long power) {
	long long ans = 1;
	while (power > 0){
		if ( power % 2 == 0 ){ //指数是偶数，直接除以二
			power = power / 2; //指数缩小一半
			base = base * base;//底数为原来的两次方
		}
                else{  //指数是奇数
                    power = power – 1; //先拆出一个base的一次方，拆完就变成偶数了
                    ans = ans * base ; //base的一次方乘进结果中
                    power = power / 2; //指数缩小一半
                    base = base * base;//底数为原来的两次方
                }
        }
	return ans;
}

快速幂的优化

上述的算法在某些部分还可以进行优化

1. 对于power = power – 1; 和power = power / 2; 这两句话，其实可以合并为一句话：power = power/2; 因为在这个分支中power一定是奇数，那么在C++中，奇数/2 也就是就是它-1再除以2 。

2. if 和 else 两个分支其实都要进行power = power / 2 和base = base * base 两个操作。

   第二个power为奇数的分支其实就是多了个拆出一次幂的过程，那么我们可以在一开始就进行判断是否为奇数，如果是就拆出一次幂，如果不是就不做操作，然后进行两个分支都要进行的操作。

3. 最后还有一个优化，在程序中需要判断的是是否为奇数和将这个数除以2的操作，这两个操作如果改用位运算的话，会显著提高计算效率。

   对于任意一个数，如果它是奇数，那么它的二进制数最低位一定是1，反之一定是0；那么我们可以使用按位与操作，将这个数与1按位与，这样的话如果得数是1则说明数字是奇数，而得数是0的话说明该数是偶数，（1就是0000001，其高位全都是0，按位与操作得到的全都会是0） 然后对于a = a/2的操作，也可以用位运算 ，将一个数的二进制表示的每一位都向右移动一位，即为将其除以2。

快速幂的最简模板

为啥这里加了个mod呢？因为很多题的答案都是非常大的，可能long long都存不下，那这个时候题目就会要求你将所有的答案都以模p的形式给出来。p也就是下面代码中的mod。

typedef long long ll;
ll mod_pow(ll base ,ll pow , ll mod){
	ll res = 1;
	while(pow > 0){
            if( pow & 1 ) res = res * base % mod; //pow是奇数
            base = base * base % mod;             //pow是偶数
            pow >>= 1; 
        }
	return res;
}

另外，印象中有一个题中，pow非常大，这个时候需要用到欧拉定理来进行降幂操作，直接用 pow % φ（n）。

具体细节想不起来了，想起来了再更新。