有向强连通分支Tarjan算法

  　本文转载自：http://blog.csdn.net/xinghongduo/article/details/6195337　

 

　　说到以Tarjan命名的算法，我们经常提到的有3个，其中就包括本文所介绍的求强连通分量的Tarjan算法。而提出此算法的普林斯顿大学的Robert E Tarjan教授也是1986年的图灵奖获得者（具体原因请看本博“历届图灵奖得主”一文）。

 

      首先明确几个概念。

1. 强连通图。在一个强连通图中，任意两个点都通过一定路径互相连通。比如图一是一个强连通图，而图二不是。因为没有一条路使得点4到达点1、2

　　

　　2.强连通分量。在一个非强连通图中极大的强连通子图就是该图的强连通分量。比如图三中子图{1,2,3,5}是一个强连通分量，子图{4}是一个强连通分量。

　　

 

　　

　　关于Tarjan算法的伪代码和流程演示请到我的115网盘下载网上某大牛写的Doc（地址：http://u.115.com/file/f96af404d2<Tarjan算法.doc>）本文着重从另外一个角度，也就是针对tarjan的操作规则来讲解这个算法。

      其实，tarjan算法的基础是DFS。我们准备两个数组Low和Dfn。Low数组是一个标记数组，记录该点所在的强连通子图所在搜索子树的根节点的Dfn值（很绕嘴，往下看你就会明白），Dfn数组记录搜索到该点的时间，也就是第几个搜索这个点的。根据以下几条规则，经过搜索遍历该图（无需回溯）和对栈的操作，我们就可以得到该有向图的强连通分量。

 

1. 数组的初始化：当首次搜索到点p时，Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。
2. 堆栈：每搜索到一个点，将它压入栈顶。
3. 当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’不在栈中，p的low值为两点的low值中较小的一个。
4. 当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’在栈中，p的low值为p的low值和p’的dfn值中较小的一个。
5. 每当搜索到一个点经过以上操作后（也就是子树已经全部遍历）的low值等于dfn值，则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量。
6. 继续搜索（或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。

      由于每个顶点只访问过一次，每条边也只访问过一次，我们就可以在O（n+m）的时间内求出有向图的强连通分量。但是，这么做的原因是什么呢？

 

      Tarjan算法的操作原理如下：

1. Tarjan算法基于定理：在任何深度优先搜索中，同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说，强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。
2. 可以证明，当一个点既是强连通子图Ⅰ中的点，又是强连通子图Ⅱ中的点，则它是强连通子图Ⅰ∪Ⅱ中的点。
3. 这样，我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意，该子树中的元素在栈中一定是相邻的，且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。
4. 强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量。
5. 如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值，则它是该搜索子树的根。这时，它以上（包括它自己）一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。

　　强连通分量代码

int head[N], tot;
struct Node
{
    int to, next;
}edge[N<<1];
int dfn[N], low[N]; // 深度优先数和最大能访问的节点
int instack[N]; // 是否在栈中
int St[N]; // 栈
int cnt, n, top, ght;

void Init()
{
    cnt=tot=0;
    _clr(head, -1);
    _clr(dfn, 0);
    _clr(subnet, 0);
    _clr(instack, 0);
}

void Add_edge(int s, int t)
{
    edge[tot].to = t;
    edge[tot].next = head[s];
    head[s] = tot++;

    edge[tot].to = s;
    edge[tot].next = head[t];
    head[t] = tot++;
}

void dfs(int u)
{
    dfn[u]=low[u]= ++cnt;
    St[top++] = u;
    instack[u] = true;
    for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            dfs(v);
            low[u] = Min(low[u], low[v]);
            //  可以在次处添加求关节点||割边的代码
        }
        else if(instack[v]) low[u] = Min(low[u], dfn[v]);
    }
    // 以下是输出强连通分量ght的各个节点
    if(low[u]==dfn[u])
    {
        ght++;
        printf("{ ");
        while(1)
        {
            int v = St[--top];
            printf("%d ", v);
            instack[v] = false;
            if(u == v) break;
        }
        printf("}
");
    }
}

void Tarjan()
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(!dfn[i])
            dfs(i);
}