中山大学校队内部选拔赛试题3.1【Factorial Factors】--------2015年2月9日

一：题目大意

当给定一个数时，先求出它的所有因子N1，N2······Nk，然后求出它的因子对应的因子的个数n1,n2·····nk，并求出最终结果S=n1^3+n2^3+n3^3+·····+nk^3.

二：题目分析

本题的数据范围是N<2^31。如果对于每一趟直接判断时间复杂度将会很高。因此我们需要做预处理，先求出在最大范围内所有的质数。

对于每一个质数p,它的因子只有1和p本身，那么S(p)=1+2^3=9.

对于数字x=p^k，我们可以得知它有1,p,,,,p^k这么多因子，那么S(x)=1+2^3+······+(k+1)^3.

我们首先定义n(x)表示x的因子个数。如果N有两个不同的素因子p1和p2，这时不妨设N=p1^k1*p2^k2.这时我们可以得出一个事实：

n(p1^i*p2^j)=(j+1)n(p1^i)。

则很容易得到：

S（N）=S(p1^k1)+S(p2*p1^k1)+S(p2^2*p1^k1)+····+S(p2^k2*p1^k1)

下面我们继续往后推论：

采用类似的方法我们可以得出对于任意

我们有：

    

分析到这里我们可以着手写代码了。

三 ：AC代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int isprime[1<<16];
const int maxi=1<<16;
vector<int>p;
void pre()
{
    for(int i=2;i<maxi;i++)
        if(!isprime[i])
    {
        for(int k=i+i;k<maxi;k+=i)
        {
            isprime[k]=1;
        }
        p.push_back(i);
    }
}
int cal(int N)
{
    int ans=1;
    int i=0;
    while(p[i]*p[i]<=N&&i<p.size())
    {
        if(N%p[i]==0)
        {
            int k=1;
            int j=1;
            while(N%p[i]==0)
            {
                k++;
                j+=k*k*k;
                N/=p[i];
            }
            ans*=j;
        }
        i++;
    }
    if(N!=1) ans*=9;
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    pre();
    cin>>T;
    int n;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        cout<<cal(n)<<endl;
    }
    return 0;
}

四：学会合理运用数字之间的关系转化问题是解题的关键。