扩展欧几里得学习笔记

扩展欧几里得算法用于求解形如

$ ax+by=gcd(a,b) $

的方程(其中(a),(b)是常量且(>=0))
首先如果(b=0)，则显然有(x=1)，(y=0)满足上方程

然后如果(b>0)的话：
首先我们知道$ gcd(a,b) = gcd(b, a mod b ) $（欧几里得算法求两数gcd的原理）
设上面那个方程的通解为 (x_0) ， (y_0)
所以就有

$ a×x_0+b×y_0=gcd(a,b) $

那么

$ b×x_0+( a mod b )×y_0=gcd(b, a mod b )=gcd(a,b) $

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这里证明个小结论（神仙都是脑补吧……）
(a mod b = a-b×[a/b])，其中[]表示取整
设(a=k×b+m)
(a mod b=m)
([a/b]=k)，
那么(a-b×[a/b]=a-k×b=m=a mod b)

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然后就有

$ b×x_0+( a mod b )×y_0=b×x_0+(a-b×[a/b])×y_0 $

展开，再整理能得到

(a×y_0+b×(x_0-y_0×[a/b]))

然后上面一长串式子连等下来可以得到

(a×y_0+b×(x_0-y_0×[a/b])=gcd(b, a mod b )=gcd(a,b)=ax+by)（最后=开始的）

观察等式两边得到

(x=y_0)，(y=x_0-y_0×[a/b])

然后就可以根据上面过程开始递归了，注意判下边界((b=0))

从lyd书上抄了个代码过来觉得好像理解得更透彻了一点……
所以说学习要勤抄代码（雾
代码我丢一下

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;y=0;return a;
	}
	int d=exgcd(b,a mod b,x,y);
	int z=x;x=y;y=z-y*(a/b);
	return d; 
}