0-1分数规划

定义

我们给定两个数组，(a_i)表示选取(i)的收益，(b_i)表示选取(i)的代价。

如果选取(i)，定义(x_i=1)否则(x_i=0),每个物品只有选和不选的两种方案，求一个选择的方案使得

[max{frac{sumlimits_{i=1}^{n}a_ix_i}{sumlimits_{i=1}^{n}b_ix_i}} ]

也就是选择物品的总收益/总代价最大或者最小。

主要问题分类

一般0-1分数规划

洛谷P1570 KC喝咖啡
题目概述：有(n)杯种调料，每种调料有美味值(a_i)和时间(b_i)，从中选择(m)种使得

[max{frac{sumlimits_{i=1}^{n}a_ix_i}{sumlimits_{i=1}^{n}b_ix_i}} ]

其实就是板子啦

我们来考虑一下这个问题：

贪心？我不会

(dp)？，我也不会

我们设设答案为(t),则(tlefrac{sumlimits_{i=1}^{n}a_ix_i}{sumlimits_{i=1}^{n}b_ix_i})

将分母移项，得到(sumlimits_{i=1}^{n}a_ix_ige t*sumlimits_{i=1}^{n}b_ix_i)

再把代数式移到一侧(sumlimits_{i=1}^{n}a_ix_i-t*sumlimits_{i=1}^{n}b_ix_ige 0)

我们把(sum)合并，再把(x_i)提出来得到(sumlimits_{i=1}^{n}x_i(a_i-t*b_i)ge 0)

我们发现，如果要尽量满足(sumlimits_{i=1}^{n}x_i(a_i-t*b_i)ge 0)，那么只需要取出前(m)大的(a_i-t*b_i)就可以了

我们设(f(t)=sumlimits_{i=1}^{n}x_i(a_i-t*b_i))，会发现其实它是一个关于(t)的单调函数，那么我们岂不是可以二分(t)然后再(check)一下

等等，那这不就是二分答案吗？

没错，(0)-(1)分数规划就是变形一下式子再二分答案(qwq)

洛谷P4377 [USACO18OPEN]Talent Show

题目概述：不要求选(m)种，但是每个物品有一个(w_i)，要求选择的物品(w_i)之和大于(m)，求

[max{frac{sumlimits_{i=1}^{n}a_ix_i}{sumlimits_{i=1}^{n}b_ix_i}} ]

变形之后没什么不同的，但是由于有一个所选物品(w_i)之和大于(m)的限制，所以我们不采用贪心，而采用背包的方法进行(check)

洛谷P2115 [USACO14MAR]破坏Sabotage

题目概述：一个数列，选择其中一段连续期间去掉（规定头和尾不能去掉），求剩下数字平均值的最小值；

关于区间和问题我们很容易联想到前缀和，设(s_i)为数列的前缀和数组

则方程可以列为(t=frac{s_n-(s_r-s_{l-1})}{n-(r-l+1)})

变变变得到(s_n-t*n-(s(r)-t*r)+s(l-1)-t*(l-1)ge 0)

很多变量很难处理，我们设(g_x=s_x-t*x)，则(g_n-g_r+g_{l-1}ge 0)

考虑如何(check)

我们发现，该题目中最小值存在实际意义，即在某个较小区间内是不含有答案的，但是二分边界可以无限缩小

所以我们转变思路：由于(t)是最小值，如果对于一个(t)，我们能找到一个(g_r-g_{l-1}>g_n)，那么这个(t)就凉了

我们可以求一个(maxn_i)表示(g_i)前缀最大值，(minn_i)表示(g_i)后缀最小值，枚举每个(i)判断(maxn_i-minn_i)是否大于(g_n)

这个东西是单调的，用这种方法只要找(t)的最大值就好了，这个东西它的边界是不用特殊处理的，可以很愉快的二分(check)啦～

代码什么的我才懒得放，自己脑补不出来也敢说自己学会了

最优比率生成树

应用：选择(n-1)条边使图变成完全图，求点权与边权比值的最大（小）值

洛谷P4951 [USACO 2001 OPEN]地震

题目概述：有一只施工队要修路，每条路有成本(c)和需要的时间(t)，总收入为(k)，要求选择数条边使图联通，求

[max{frac{k-sumlimits_{i=1}^{n}c_ix_i}{sumlimits_{i=1}^{n}t_ix_i}} ]

然后怎么办？按照套路设式子呗

设(ansle frac{k-sumlimits_{i=1}^{n}c_ix_i}{sumlimits_{i=1}^{n}t_ix_i})

移项(ans*sumlimits_{i=1}^{n}t_ix_i+sumlimits_{i=1}^{n}c_ix_i-kle 0)

整理(sumlimits_{i=1}^{n}x_i*(ans*t_i-c_i)-kle 0)

我们二分一个(ans)，以(ans*t_i-c_i)为边权，跑最小生成树，判断原式是否小于等于(0)

最优比率环

应用：在有向图中找到一个环使得环内的点权与边权比值最大（最小）
洛谷P2868 [USACO07DEC]观光奶牛Sightseeing Cows

题目概述：每个点有点权，每条边有边权，求一个环，使得环内(max{frac{sumlimits_{vin V}v_i}{sumlimits_{ein E}e_i}})，求这个最大值

求这个最大值

设每个点点权为(v_i)，每条边边权为(e_i)；

假设一个环内的(tle frac{sumlimits_{vin V}v_i}{sumlimits_{ein E}e_i})，问题即为求(t)的最大值，可以拓展为(01)分数规划问题

套路移项得到(sumlimits_{vin V}v_i-t*sumlimits_{ein E}e_ige 0)

设当前环为(g)

再合并(sumlimits_{u,vin g,u,vin E}v_i-t*e_ige 0)

我们以(v_i-t*e_i)为边权，只要某个环上的边权和为正就满足要求，所以就变成了一个判正环的问题，当然也可以取反判负环

注意这个(v_i)只要在入点和出点之中选一个就好了，但是要统一

现在我们就可以写一个广为人知的最短路算法了（雾

可以发现(01)分数规划本质就是列个不等式然后在实数域上二分，算是稍微加一点数学知识的二分答案吧