动态规划初步：数字三角形(含记忆化搜索)

Description

给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。  对于给定的由n行数字组成的数字三角形，计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。

Input

输入数据的第1行是数字三角形的行数n，1≤n≤100。接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99之间。

Output

输出数据只有一个整数，表示计算出的最大值。

Sample Input

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output

30

1.dp:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a[105][105], dp[105][105]; // dp数组表示从(i,j)开始出发的最大和

int main() {
    int n, res;
    cin >> n;

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= i; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    for(int j = 1; j <= n; j++) dp[n][j] = a[n][j];
    for(int i = n-1; i >= 1; i--) { // 注意i是逆序的
        for(int j = 1; j <= n; j++) 
            dp[i][j] = a[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]);
    }
    cout << dp[1][1];
    return 0;
}

2.记忆化搜索:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, res;
int a[105][105], dp[105][105];

int solve(int i, int j) {
    if(dp[i][j] >= 0) return dp[i][j]; // 大于0说明已经求过该点.减少重复
    return dp[i][j] = a[i][j] + (i == n ? 0 : max(solve(i+1, j), solve(i+1, j+1))); //  注意判断边界
}

int main() {

    cin >> n;
    memset(dp, -1, sizeof(dp)); // 初始全赋为-1,方便后面判断
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= i; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    
    cout << solve(1, 1); // 从第一排第一个数开始出发的最大和
    return 0;
}