百练2757:最长上升子序列

描述

一个数的序列b_i，当b₁ < b₂ < ... < b_S的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a₁, a₂, ..., a_N)，我们可以得到一些上升的子序列(a_i1, a_i2, ..., a_iK)，这里1 <= i₁ < i₂ < ... < i_K <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

1.递归做法，不说了肯定超时。。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1010];
int n;
int f(int index)//求以a[index]为终点的最长上升子序列的长度
{
    if(index == 1)
    {
        return 1;
    }
    int maxV = 1;
    for(int i = 1;i<index;++i)
    {
        if(a[i]<a[index])
        {
            maxV = max(maxV,f(i)+1);
        }
    }
    return maxV;
}
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1;i<= n;++i)
    {
        cin >> a[i];
    }
    int maxV = 0;
    for(int i = 1;i<=n;++i)
    {
        maxV = max(maxV,f(i));
    }
    cout << maxV << endl;
    return 0;
}

2.记忆递归型动规

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1010];
int dp[1010];
int n;
int cnt = 0;
int f(int index)//求以a[index]为终点的最长上升子序列的长度
{
    if(dp[index] != -1)
    {
        return dp[index];
    }
    cnt++;
    int maxV = 1;
    for(int i = 1;i<index;++i)
    {
        if(a[i]<a[index])
        {
            maxV = max(maxV,f(i)+1);
        }
    }
    dp[index] = maxV;
    return dp[index];
}
int main()
{

    cin >> n;
    for(int i = 1;i<= n;++i)
    {
        cin >> a[i];
        dp[i] = -1;
    }
    dp[1] = 1;
    int maxV = 0;
    for(int i = 1;i<=n;++i)
    {
        maxV = max(maxV,f(i));
    }
    cout << maxV << endl;
    cout <<"cnt:"<<cnt<<endl;
    return 0;
}

3.“人人为我”递推型动规，状态是n个，算出每个状态的时候需要一个循环，因此总的时间复杂度是O（n^2）的。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1010];
int dp[1010];//dp[i]表示以a[i]为终点的最长上升子序列的长度
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1;i<= n;++i)
    {
        cin >> a[i];
        dp[i] = 1;//因为一个数字的最长上升子序列就是它自己，所以初始化所有dp为1
    }
    for(int i = 2;i <=n;++i)
        for(int j = 1;j<i;++j)
        {
            if(a[j]<a[i])
            {
                dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
    cout << *max_element(dp+1,dp+n+1) << endl;
    return 0;
}

4.“人人为我”递推型动规，时间复杂度也是O（n^2）的。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[1010];
int dp[1010];//dp[i]表示以a[i]为终点的最长上升子序列的长度
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1;i<= n;++i)
    {
        cin >> a[i];
        dp[i] = 1;//因为一个数字的最长上升子序列就是它自己，所以初始化所有dp为1
    }
    for(int i = 1;i <=n;++i)
        for(int j = i+1;j<=n;++j)////看看能更新哪些状态的值
        {
            if(a[i]<a[j])
            {
                dp[j] = max(dp[j],dp[i]+1);
            }
        }
    cout << *max_element(dp+1,dp+n+1) << endl;
    return 0;
}