Unique-paths （动态规划）

题目描述

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

根据题意分析，我们得出一个重要的结论：
　　机器人走到终点的所有路径 = 机器人走到1位置的所有路径 +机器人走到２位置的所有路径。
同理如果要求走到1位置的所有路径，只要求它上面和左面的所有路径之和。

 

再来看当被划红线的小方块作为终点时，都只有一条唯一的路径。

很明显我们可以用动态规划来解决这个问题。经过上面的分析后，可以列出状态转义方程：

dp[0][j] = 1
dp[i][0] = 1
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dp[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

 使用动态规划时间复杂度只需要O(m*n)。在求解最优化问题时，无非最常用的就是贪心和动态规划两种。在使用动态规划中，先对问题仔细分析，列出状态转移方程以及边界条件，接下来代码就是水到渠成的事情了。