算法工程师的升级之路-数据结构与算法篇(1)堆排序

引言

在学习堆排序前，需要简要了解选择排序的原理。因为堆排序的本质是一种使用了特殊数据结构的选择排序。
选择排序的伪代码如下：

SelectionSort(A):
      for i=1 to n:
            找到A的最小元，并赋值给Sort[i]
            删除A的最小元
      return Sort

在for循环里面的每一次寻找最小元的过程都是O(n)的时间复杂度，所以选择排序算法的时间复杂度是O(n^2)的。所以针对找到最小元的操作，将它进行简化就可以有效地减小时间复杂度。

堆排序的思想介绍

为了实现快速找到最小元，借助一种名为堆的数据结构。堆是一种非严格有序的数据结构，这种结构保证了它能提供高效的取最小元操作。
下面以大顶堆为例子进行堆的介绍。
在介绍堆之前，先简要地介绍完全二叉树的概念，完全二叉树指的是处理最后一层外，其余层的结点是满的，且最后一层结点优先放置在最左边。如图1所示

图1.完全二叉树
完全二叉树的优点是，它能够在空间浪费小的情况下使用数组表示一个完全二叉树。对于有N个结点的完全二叉树，使用N+1大小的数组表示，数组的第一个位置(位置0)不放置元素，位置k的结点的两个子结点位置分别为2k和2k+1，父结点的位置为k/2向下取整。所以可以很简单地通过数组的索引进在树中上下移动。
完全二叉树的示意图如图2所示

图2.完全二叉树数组表示法
堆是一课保持上下有序性的完全二叉树，上下有序性指的是：堆的每个结点都大于或等于它的左右子节点。而这种有序性确保了最上层的根结点是整个堆最大的元素，所以单纯的取堆顶元素就是常数时间的操作，从而实现了前面想要的高效取最小元的操作。但是这是要付出代价的，取走堆顶元素后的，一个堆就变成两个堆了，如此进行下去取最大元的操作耗费的时间就会越来越多，退化为线性时间的查找。所以为了更好地使用堆的高效取最大元的性质，需要对取走最大元后的堆进行一定的操作(一时的不白嫖是为了更好地白嫖，白嫖一时爽，一直白嫖一直爽)
为了保持取走堆顶最大元素后仍能维持一个堆的性质，将堆最末尾的元素(即数组的最末尾元素)移动到堆顶，然后根据堆的性质，对比当前的堆顶元素和它的左右结点，重新维护堆的性质，因为是堆尾移动来的，大概率不满足堆的性质，所以需要将堆重新排列，以让其重新满足堆的性质。此处需要的操作称为形象地称为下沉，将堆顶元素与左右结点进行大小比较，将最大的元素对应结点与堆顶元素进行交换，实现了新元素从第一层下沉到第二层。以此类推，到达第二层的相应位置继续执行与左右结点的下沉，从而实现取走堆顶元素后的堆的维护。下沉操作是以层级间的元素交换为基础的，所以下沉操作需要执行的次数与堆的高度是相关的，而由于堆是完全二叉树，所以对于含有n个结点的堆，它的高度是log(n)，所以对于堆的维护是O(log n)时间复杂度的操作。将取最大元和堆的重新维护看着是一个操作，堆的取最大元操作时间复杂度是O(log n)级别的。
所以，很显然，以堆为数据结构的选择排序在循环中的取最小元操作，通过小顶堆可以在O(log n)的时间复杂度内完成，结合外层的O(n)循环，(基于)堆排序的时间复杂度为O(n*logn)。
上面就是堆排序的基本思路，不同于一般的二叉树，完全二叉树可以通过数组进行实现，且不会造成空间的浪费。
堆排序的整体思路就是介绍完毕，为了更好地理解对排序，我们需要结合代码进行理解。

堆排序的代码实现

在对堆排序的原理进行讲解的时候，使用到最多的操作是交换元素和下沉操作。所以首先实现这两个操作。

void exch(vector<int>&a,int i,int j)//交换
{
      int temp=a[i];
      a[i]=a[j];
      a[j]=temp;
}

void sink(vector<int>&a, int k, int N)
{
      while(2*k<=N)
      {
       int j=2*k;//左边子结点的索引
       if(j<N&&a[j]<a[j+1])j++;//定位子结点中的较大值
       if(a[k]>=a[j])break;//若已经满足堆的性质，则跳出循环
       exch(a,k,j);//否则将三个结点中最大的元素放到堆顶
       k=j;//根据堆的上下有序性，因为交换前元素位于子堆的最大位置，所以交换后元素k有可能比堆的子结点更小，需要继续下沉
      }
}

堆排序可分为两个阶段：构建堆和取走最大元。
构建堆的方法可以很简单，通过逐个添加元素到数组尾部，然后维护堆的性质即可，这种实现的时间复杂度为O(n logn)。一种更快的构建方法是从数组中间进行构建，跳过大小为1的子堆。

void bulid(vector<int> &a)
{
      int N=a.size()-1;//实际上位置0的元素是不使用的
      for(int k=N/2;k>=1;k--)
            sink(a,k,N);
}

构建好堆后，获取堆顶的最大元素并删除，递归执行直至数组有序。

void sort(vector<int> &a)
{
      bulid(a);
      int N=a.size()-1;// 实际上位置0的元素是不使用的
      while(N>1)//循环结束的条件是堆中元素等于1，即比该元素大的元素都按大小放到了它的后面，所以数组排序完毕
      {
            //首先将堆顶元素取出，交换到数组末尾
            exch(a,1,N);
            //删除体现为把数放置到数组末尾后，数组大小减小1->表示将最大值排除在外
            --N;
            //由于将原本堆末尾的数字交换到了堆顶，需要从上到下重新维护堆的性质
            sink(a,1,N);
      }
}

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总结

堆排序在在初学的时候觉得很复杂，但是将堆排序的操作进行分解后，背后的原理很容易懂，这也充分体现了算法的有趣性，简单地预处理将大大提升排序算法的性能。
同时堆排序算法也是在初级的排序算法中，唯一能够最优地利用空间和时间的方法，在最坏情况下，它还能保证O(N logN)的时间复杂度，同时使用的仅仅是常数级的额外空间，但是在现代的很多应用中，很少使用到堆排序，这是因为它很少涉及相邻元素的比较和交换，无法有效利用缓存。
但是它背后包含的思想值得我们学习。堆的高效取最大值的操作在很多场合都有相应的应用，所以堆排序是值得我们细细品味学习的一个排序算法。