Chapter1 递归与递推

Chapter 1 递归与递推

• 时间复杂度(转载自yxc大佬)

一般ACM或者笔试题的时间限制是1秒或2秒。
在这种情况下，C++代码中的操作次数控制在 107107 为最佳。

下面给出在不同数据范围下，代码的时间复杂度和算法该如何选择：

n≤30n≤30, 指数级别, dfs+剪枝，状态压缩dp
n≤100n≤100 => O(n3)O(n3)，floyd，dp
n≤1000n≤1000 => O(n2)O(n2)，O(n2logn)O(n2logn)，dp，二分
n≤10000n≤10000 => O(n∗n√)O(n∗n)，块状链表
n≤100000n≤100000 => O(nlogn)O(nlogn) => 各种sort，线段树、树状数组、set/map、heap、dijkstra+heap、spfa、求凸包、求半平面交、二分
n≤1000000n≤1000000 => O(n)O(n), 以及常数较小的 O(nlogn)O(nlogn) 算法 => hash、双指针扫描、kmp、AC自动机，常数比较小的 O(nlogn)O(nlogn) 的做法：sort、树状数组、heap、dijkstra、spfa
n≤10000000n≤10000000 => O(n)O(n)，双指针扫描、kmp、AC自动机、线性筛素数
n≤109n≤109 => O(n√)O(n)，判断质数
n≤1018n≤1018 => O(logn)O(logn)，最大公约数

cin cout 与 scanf printf 如何选择

如果处理数据个数小于10 ^ 5,都可以

如果处理数据个数大于等于10 ^ 5，建议用 scanf printf

• 递归 dfs

1.递归实现指数型枚举 92

可以画递归搜索树帮助理解分析

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int maxn = 15;
int m;
int a[maxn];//存放数字状态 0 未考虑， 1选 2不选

void pit (int n){
    if(n == m){
        for(int i = 0; i < maxn; i++)
            if(a[i] == 1)   printf("%d ", i + 1);
        printf("
");
        return;
    }
    a[n] = 2;
    pit(n + 1);//第一个分支
    a[n] = 0;//恢复现场 （可有可无 帮助理解）
    a[n] = 1;
    pit(n + 1);//第二个分支
}

int main()
{
   while(cin >> m){
   pit(0);
   }
   return 0;
}

2.递归实现排列型枚举 94

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
//按照字典序输出
using namespace std;

int m;
const int maxn = 10;
bool used[maxn];//检查每个数字是否被用过， false表示没被用过，true表示用过了
int st[maxn];//0表示还没存放数字 1~m表示已经存放，存放的是谁

void dfs(int n)
{
    if(n > m)
        {
            for(int i = 1; i <= m; i++)
                printf("%d ", st[i]);
            puts("");
            return;
        }
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        if(!used[i]){
            st[n] = i;
            used[i] = true;
            dfs(n + 1);
            //恢复现场
            st[n] = 0;
            used[i] = false;
        }
}


int main()
{
    scanf("%d", &m);
    dfs(1);
    return 0;
}

3.递归实现组合型枚举 93

• Time limit exceeded

//答案对，会超时！！（下面有第二种方法）

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 50;
int n, m;
int st[maxn];//0表示这一位没有数字占用，1~n表示有并且是谁占用
bool used[maxn];//false表示没有用过，true表示已经用过

void dfs(int i)
{
    if(i > m)
    {    
        int flag = 1;
        for(int j = 1; j < m ; j++)
            if(st[j + 1] < st[j]){  flag = 0;   break;}
        if(flag)
        {  
            for(int j = 1; j <= m; j++)
            printf("%d ", st[j]);
            puts("");
        }
        return;
    }
    for(int j = 1; j <= n; j++)
        if(!used[j]){
            st[i] = j;
            used[j] = true;
            dfs(i + 1);
            //恢复现场
            st[i] = 0;
            used[j] = false;
        }
            
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    dfs(1);
    return 0;
}

• AC code

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 30;
int n, m;
int st[maxn];

void dfs(int u, int start)//start用来确保下一位必定比前一位要大
{
    if(u + n - start < m)	return;//减支，提高程序运行效率
    if(u > m){//边界
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            printf("%d ", st[i]);
        puts("");
        return;
    }
    for(int i = start; i <= n; i++)
    {
            st[u] = i;
            dfs(u + 1, i + 1);
            //恢复状态，可有可无 帮助理解
            st[u] = 0;
    }
}


int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    dfs(1, 1);
    return 0;
}

4.带分数 1209

//y总答案
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 10;

int n;
bool st[N], backup[N];
int ans;

bool check(int a, int c)
{
    LL b = n * (LL)c - a * c;

    if (!a || !b || !c) return false;

    memcpy(backup, st, sizeof st);

    while (b)
    {
        int x = b % 10;     // 取个位
        b /= 10;    // 个位删掉
        if (!x || backup[x]) return false;
        backup[x] = true;
    }

    for (int i = 1; i <= 9; i ++ )
        if (!backup[i])
            return false;

    return true;
}

void dfs_c(int u, int a, int c)
{
    if (check(a, c)) ans ++ ;

    for (int i = 1; i <= 9; i ++ )
        if (!st[i])
        {
            st[i] = true;
            dfs_c(u + 1, a, c * 10 + i);
            st[i] = false;
        }
}

void dfs_a(int u, int a)
{
    if (a >= n) return;
    if (a) dfs_c(u, a, 0);

    for (int i = 1; i <= 9; i ++ )
        if (!st[i])
        {
            st[i] = true;
            dfs_a(u + 1, a * 10 + i);
            st[i] = false;
        }
}

int main()
{
    cin >> n;

    dfs_a(0, 0);

    cout << ans << endl;

    return 0;
}

• 递推

1.简单的斐波那契

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n;
int fb[1000000];

int main()
{
    cin >> n;
    fb[0] = 0;
    fb[1] = 1;
    for(int i = 2; i < n; i++)
        fb[i] = fb[i - 1] + fb[i - 2];
    for(int i = 0; i < n; i++)
        printf("%d ", fb[i]);
    return 0;
}

2.费解的开关 95

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int dx[5] = {0, 0, 1, 0, -1}, dy[5] = {0, 1, 0, -1, 0};//坐标偏移变量
const int maxn = 6;
char g[maxn][maxn], backup[maxn][maxn];//backup为备份数组

void turn(int x, int y)
{
    for(int i = 0; i < 5; i++)
    {
        int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
        if(a < 0 || a >= 5 || b < 0 || b >=5)   continue;
        g[a][b] ^= 1;
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        for(int i = 0; i < 5; i++)  cin >> g[i];
        int step = 10;
        for(int i = 0; i < 32; i++)//第一行有32种情况，二进制0/1表示是否操作
        {
            int res = 0;
            memcpy(backup, g, sizeof g);
            for(int j = 0; j < 5; j++)
                if(i >> j & 1)
                {
                    res++;
                    turn(0, 4 - j);//没搞懂，为什么不是turn(0, 4 - j);
                }
            for(int i = 0; i < 4; i++)
                for(int j = 0; j < 5; j++)
                    if(g[i][j] == '0')
                    {
                        res++;
                        turn(i + 1, j);
                    }
            bool dark = false;
            for(int i = 0; i < 5; i++)
                if(g[4][i] == '0')  {dark = true;   break;}
            if(!dark)   step = min(step, res);
            memcpy(g, backup, sizeof g);
        }
        if(step > 6) step = -1;//变量很巧妙，用了在for循环外层就定义的step用min来承接res
        cout << step << endl;
    }
    return 0;
}

3.飞行员兄弟 116

step 1: 计算复杂度 2 ^ 16 * (16 * 7 + 16 + 16)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

typedef pair<int , int> PII;

#define x first
#define y second

const int maxn = 5;
char g[maxn][maxn], backup[maxn][maxn];

int code(int i, int j)//因为要字典序输出坐标，所以为了方便把二维数组标号
{
    return i * 4 + j;
}

void turn_one(int x, int y)
{
    if(g[x][y] == '+')  g[x][y] = '-';
    else g[x][y] = '+';
}

void turn_all(int x, int y)
{
    for(int i = 0; i < maxn - 1; i++)
    {
        turn_one(x, i);
        turn_one(i, y);
    }
    turn_one(x, y);//(x， y)turn了两次，需要再turn回来
}

int main()
{
    for(int i = 0; i < maxn - 1; i++)   cin >> g[i];
    vector<PII> res;//承担结果的PII定义位置
    for(int op = 0; op < 1 << 16; op++)
    {
        vector<PII> temp;
        
        memcpy(backup, g, sizeof g);//枚举前的备份，因为要修改
        
        for(int i = 0; i < maxn - 1; i++)
            for(int j = 0; j < maxn - 1; j++)
            {
                int res = 0;
                if(op >> code(i, j) & 1)//巧妙的移位让输出的坐标已经是字典序排行
                {
                    temp.push_back({i, j});
                    turn_all(i, j);
                    res++;
                }
            }
            
        bool has_closed = false;//判断有没有灯是灭的
        for(int i = 0; i < maxn - 1; i++)
            for(int j = 0; j < maxn - 1; j++)
                if(g[i][j] == '+')
                    has_closed = true;
        if(!has_closed)            
            if(res.empty() || res.size() > temp.size()) res = temp;
        memcpy(g, backup, sizeof g);
    }
    
    cout << res.size() << endl;
    for(auto zm : res)   cout << zm.x + 1 << " " << zm.y + 1 << endl;
    
    return 0;
}

4.翻硬币 1208

//虽然说要输出最少次数，实验推演之后可以知道其实只有唯一的结果
//想象每两个硬币中间有一个决定是否翻面的开关
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 105;
char begin1[maxn], end1[maxn];
int s, res;

void turn(int u)
{
    if(begin1[u] == 'o') {begin1[u] = '*';return;}
    if(begin1[u] == '*') {begin1[u] = 'o';return;}
}

int main()
{
    cin >> begin1 >> end1;
    s = strlen(begin1);
    for(int i = 0; i < s - 1; i++)
        if(begin1[i] != end1[i])
        {
            turn(i);
            turn(i + 1);
            res++;
        }
    cout << res << endl;
    return 0;
}