分治法及其python实现例子

在前面的排序算法学习中，归并排序和快速排序就是用的分治法，分治法作为三大算法之一的，有非常多的应用例子。

分治法概念

1. 将一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题----“分”
2. 将最后子问题可以简单的直接求解----“治”
3. 将所有子问题的解合并起来就是原问题打得解----“合”

分治法特征

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

分治法例子：

一、对数组进行快速排序

'''
时间复杂度O(nlogn)
pivot枢纽，low和high为起点终点
'''

#划分分区（非就地划分）
def partition(nums=list):
    pivot = nums[0]                             #挑选枢纽
    lo = [x for x in nums[1:] if x < pivot]     #所有小于pivot的元素
    hi = [x for x in nums[1:] if x >= pivot]    #所有大于pivot的元素
    return lo,pivot,hi

#快速排序
def quick_sort(nums=list):
    #被分解的Nums小于1则解决了
    if len(nums) <= 1:
        return nums

    #分解    
    lo,pivot,hi = partition(nums)

    # 递归（树），分治，合并
    return quick_sort(lo) + [pivot] + quick_sort(hi)

lis = [7, 5, 0, 6, 3, 4, 1, 9, 8, 2]
print(quick_sort(lis)) #[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

二、对数组进行归并排序

'''
名字很多：归并排序/合并排序/二分排序
时间复杂度 O(logn)
递归
两个步骤：1.拆分 2.合并
'''
def merge_sort(nums=list):
    #取mid以及左右两个数组
    mid = len(nums)//2
    left_nums,right_nums = nums[:mid],nums[mid:]

    #递归分治
    if len(left_nums) > 1:
        left_nums = merge_sort(left_nums)
    if len(right_nums) > 1:
        right_nums = merge_sort(right_nums)

    #合并
    res = []
    while left_nums and right_nums:  #两个都不为空的时候
        if left_nums[-1] >= right_nums[-1]:  #尾部较大者
            res.append(left_nums.pop())
        else:
            res.append(right_nums.pop())
    res.reverse() #倒序
    return (left_nums or right_nums) + res #前面加上剩下的非空nums

lis = [7, 5, 0, 6, 3, 4, 1, 9, 8, 2]
print(merge_sort(lis)) #[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

 三、给定一个顺序表，编写一个求出其最大值的分治算法

#O(nlogn)
#基本子算法（内置算法）
#虽然也可以处理大数组，这里用于解决分治问题规模小于2时候
def get_max(nums=list):
    return max(nums)

#分治法 
def solve(nums):
    n = len(nums)
    if n <= 2:    #分治问题规模小于2时解决
        return get_max(nums)

    # 分解（子问题规模为 n/2）
    left_list, right_list = nums[:n//2], nums[n//2:]
    
    # 递归（树），分治
    left_max, right_max = solve(left_list), solve(right_list)
    
    # 合并
    return get_max([left_max, right_max])


if __name__ == "__main__":
    # 测试数据
    alist = [12,2,23,45,67,3,2,4,45,63,24,23]
    # 求最大值
    print(solve(alist))  # 67

 四、给定一个顺序表，判断某个元素是否在其中

#O(nlogn)
#子问题算法（子问题规模为1）
def is_in_list(nums,key):
    if nums[0] == key:
        print('Yes! %d in the nums' % key)
    else:
        print('Not found')
#分治法
def solve(nums,key):
    n = len(nums)
    #N==1时解决问题
    if n == 1:
        return is_in_list(nums,key)
    #分解
    left_list,right_list = nums[:n//2],nums[n//2:]
    #递归（树），分治，合并
    res = solve(left_list,key) or solve(right_list,key)

    return res

if __name__ == '__main__':
    #测试
    lis = [12,2,23,45,67,3,2,4,45,63,24,23]
    #查找
    print(solve(lis,45)) #YES~
    print(solve(lis,5))  #NOT~

 五、找出一组序列中的第 k 小的元素，要求线性时间

'''
O(nlogn)
用快排的方法，选定pivot然后通过左右两个分组递归得出结果
'''
# 划分
def partition(nums=list):
    pi = nums[0]
    lo = [x for x in nums[1:] if x < pi]
    hi = [x for x in nums[1:] if x >= pi]
    return lo,pi,hi

# 查找第 k 小的元素
def solve(nums,key):
    #分解
    lo,pi,hi = partition(nums)

    n = len(lo) 
    #解决
    if n == key:
        return pi
    #递归分治
    elif n < key:
        return solve(hi,key-n-1)
    #递归分治
    else:
        return solve(lo,key)

if __name__ == '__main__':
    lis = [3, 4, 1, 6, 3, 7, 9, 13, 93, 0, 100, 1, 2, 2, 3, 3, 2]
    print(solve(lis,3))#2
    print(solve(lis,10))#4

学习资源来自：分治法的个人理解、分治算法分析、python实现分治法的几个例子