引例：有一个二元一次方程组 $ax+by=c$，求它的通解。
首先，我们可以求出一组解来，如$egin{cases}x=e\y=fend{cases}$。
考虑各加上一个偏移量来构造新解，如：$egin{cases}x=e+p_x\y=f+p_yend{cases}$。
回代得：$a imes (e+p_x)+b imes (f+p_y)=c$。
去括号并整理得：$a imes e+b imes f+a imes p_x+b imes p_y=c$。
显然如果想让 $c$ 不受影响，明显应使 $a imes p_x+b imes p_y=0$，即 $a imes p_x=-b imes p_y$。
若 $a$ 与 $b$ 互质，则 $p_xmod b=p_ymod a=0$，即 $p_x=k imes b,p_y=-k imes a$。
也就是说，若 $a$ 与 $b$ 互质，则有通解 $egin{cases}x=e+k imes b\y=f-k imes aend{cases}$。
那，若 $a$ 与 $b$ 不互质，怎么办呢？
在求到这个柿子时：$a imes p_x=-b imes p_y$，我们应当对这个柿子作出一定处理。
对左右两边同时除以 $gcd(a,b)$，得 $frac{a}{gcd(a,b)} imes p_x=-frac{b}{gcd(a,b)} imes p_y$。
可得：$p_x=k imes frac{b}{gcd(a,b)},p_y=-k imes frac{a}{gcd(a,b)}$。
于是，我们就有了通解：$egin{cases}x=e+k imes frac{b}{gcd(a,b)}\y=f-k imes frac{a}{gcd(a,b)}end{cases}$。