工作-时间复杂度

参考资料  算法（一）时间复杂度 - CSDN博客

　

　1. 算法的效率

算法的效率主要由以下两个复杂度来评估：

时间复杂度：评估执行程序所需的时间，可以估算程序对处理器的使用程度。（主要）

空间复杂度：评估执行程序所需的存储空间，可以估算出程序对计算机内存的使用程度。

　　2. 时间复杂度

一个算法花费·的时间与算法中语句的执行次数成正比，语句执行次数多，花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为时间频度，记为T(n)。

n为问题的规模，当n不断变换时，T(n)也会不断变化。为了知道它的变化呈现什么规律，我们引入了时间复杂度的概念。若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋于无穷大时，T(n)/f(n)的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度

　　3. 大O表示法

像前面用O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O表示法。 算法复杂度可以从最理想情况、平均情况和最坏情况三个角度来评估。由于平均情况大多和最坏情况持平，而且评估最坏情况也可以避免后顾之忧，因此一般情况下，我们设计算法时都要直接估算最坏情况的复杂度。 

常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、线性阶O(n)、对数阶O(logn)、平方阶O(n^2)。那么如何推导出f(n)的值呢？我们接着来看推导大O阶的方法。

推导大O阶 
推导大O阶，我们可以按照如下的规则来进行推导，得到的结果就是大O表示法： 
1.用常数1来取代运行时间中所有加法常数。 
2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 
3.如果最高阶项存在且常数不是1，则去除与这个项相乘的常数。

常数阶 
先举了例子，如下所示。

  int sum = 0,n = 100; //执行一次  
  sum = (1+n)*n/2; //执行一次  
  System.out.println (sum); //执行一次 

上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3，根据推导大O阶的规则1，我们需要将常数3改为1，则这个算法的时间复杂度为O(1)。如果sum = (1+n)*n/2这条语句再执行10遍，因为这与问题大小n的值并没有关系，所以这个算法的时间复杂度仍旧是O(1)，我们可以称之为常数阶。

线性阶 
线性阶主要要分析循环结构的运行情况，如下所示。

for(int i=0;i<n;i++){
...
}

上面算法循环体中的代码执行了n次，因此时间复杂度为O(n)。

对数阶

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
...
}

可以看出上面的代码，随着number每次乘以2后，都会越来越接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，因此得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。

平方阶 
下面的代码是循环嵌套：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=0;j<n;i++){
         ... 
      }
  }

内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n)，现在经过外层循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。 
接下来我们来算一下下面算法的时间复杂度：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=i;j<n;i++){
         ... 
      }
  }

需要注意的是内循环中int j=i，而不是int j=0。当i=0时，内循环执行了n次；i=1时内循环执行了n-1次，当i=n-1时执行了1次，我们可以推算出总的执行次数为：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1    等差数列求和
=n²/2+n/2

根据此前讲过的推导大O阶的规则的第二条：只保留最高阶，因此保留n²/2。根据第三条去掉和这个项的常数，则去掉1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。

其他常见复杂度

除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶，还有如下时间复杂度： 
f(n)=nlogn时，时间复杂度为O(nlogn)，可以称为nlogn阶。 
f(n)=n³时，时间复杂度为O(n³)，可以称为立方阶。 
f(n)=2ⁿ时，时间复杂度为O(2ⁿ)，可以称为指数阶。 
f(n)=n!时，时间复杂度为O(n!)，可以称为阶乘阶。 
f(n)=(√n时，时间复杂度为O(√n)，可以称为平方根阶。

4.复杂度的比较

下面将算法中常见的f(n)值根据几种典型的数量级来列成一张表，根据这种表，我们来看看各种算法复杂度的差异。

n	logn	√n	nlogn	n²	2ⁿ	n!
5	2	2	10	25	32	120
10	3	3	30	100	1024	3628800
50	5	7	250	2500	约10^15	约3.0*10^64
100	6	10	600	10000	约10^30	约9.3*10^157
1000	9	31	9000	1000 000	约10^300	约4.0*10^2567

从上表可以看出，O(n)、O(logn)、O(√n )、O(nlogn )随着n的增加，复杂度提升不大，因此这些复杂度属于效率高的算法，反观O(2ⁿ)和O(n!)当n增加到50时，复杂度就突破十位数了，这种效率极差的复杂度最好不要出现在程序中，因此在动手编程时要评估所写算法的最坏情况的复杂度。

下面给出一个更加直观的图： 

其中x轴代表n值，y轴代表T(n)值（时间复杂度）。T(n)值随着n的值的变化而变化，其中可以看出O(n!)和O(2ⁿ)随着n值的增大，它们的T(n)值上升幅度非常大，而O(logn)、O(n)、O(nlogn)随着n值的增大，T(n)值上升幅度则很小。 
常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)