codevs4247 奇特的生物

4247 奇特的生物

题目描述 Description

科学家们最近发现了一种奇怪的生物,它们每天长大一岁,刚出生的宝宝为1岁,且它们的年龄没有上限。已知年龄为1 岁,2岁,3岁,……,k岁的个体具有生育能力,当年龄为i的具有生育能力的个体将长大一岁时会生下ai个1岁的幼崽。假设第一天只有一个年龄为1的幼 崽,现在科学家们想知道第x天年龄为y的个体有多少,但由于该物种增长速度太快,于是他们将这个任务交给了你。由于这个数可能很大,你需要对p取模。

 

输入描述 Input Description

输入数据第一行给定四个整数k,x,y,p。

第二行包括k个整数,第i个整数代表ai。

 

输出描述 Output Description

输出数据包含一行,表示第x天年龄为y的个体的数量对p取模后的结果。

 

样例输入 Sample Input

【样例输入 1】

3 3 1 1007

1 1 1

【样例输入 2】

3 6 2 1007

1 2 1

 

样例输出 Sample Output

【样例输出1】

2

【样例输出 2】

13

 

数据范围及提示 Data Size & Hint

 

【思路】

  矩阵乘法。

  可以总结出题目所述的转换规则如下：

   |F1,F2,F3…Fk| => |a1*F1+a2*F2+…ak*Fk , F1,F2,…Fk-1|

  原矩阵A：

   |1,0,0,…0|

  转换矩阵T：

   |a1,1,0,0…|

   |a2,0,1,0…|

   |.. , ..,..1…|

   |ak,0,0 0…|

 分类讨论（标号从0开始）：

  如果y>x 转移不到数目为0

  否则

     如果y<=k A=A*(T^(x-1))输出A[0][y-1]

     否则

        A=A*(T^(x-y+k)) 输出A[0][k-1]

        （注意到只要是年龄比k大数目就不会发生变化，所以只要把y所对应的计算到k-1即可）

  又：其实只要是1岁以后数目都不会发生变化，上述麻烦了。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 30+5;
LL k,x,y,m;
LL a[maxn];

LL multi( LL y , LL cnt ) {
    if ( ! cnt ) return 0 ;
    if ( cnt == 1 ) return y % m ;
    LL rec = multi( y , cnt / 2 ) ;
    rec = ( rec + rec ) % m ;
    if ( cnt % 2 ) rec = ( rec + y ) % m ;
    return rec ;
}
struct Matrix{
    int r,c;
    LL N[maxn][maxn];
    void init(int r,int c) {
        this->r=r, this->c=c;
        memset(N,0,sizeof(N));
    }
    Matrix operator*(Matrix& B)const{
        Matrix C;
        C.init(r,B.c);
        for(int i=0;i<C.r;i++)
           for(int j=0;j<C.c;j++)
           {
              for(int k=0;k<c;k++) C.N[i][j] += multi(N[i][k],B.N[k][j]);
              C.N[i][j]%=m;
          }
        return C;
    }
    Matrix pow(LL p) {
        Matrix tmp=*this;
        Matrix ans;
        ans.init(r,r);
        for(int i=0;i<r;i++) ans.N[i][i]=1;
        while(p) {
            if(p&1) ans=ans*tmp;
            tmp=tmp*tmp;
            p>>=1;
        }
        return ans;
    }
}A,T;

int main() {
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&k,&x,&y,&m);
    for(int i=0;i<k;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    if(y>x) {
        printf("0");
        return 0;
    }
    A.init(1,k);
    A.N[0][0]=1;
    T.init(k,k);
    for(int i=0;i<k;i++) T.N[i][0]=a[i];
    for(int i=1;i<k;i++) T.N[i-1][i]=1;
    if(y<=k)
    {
        T=T.pow(x-1);
        A=A*T;
        printf("%lld ",A.N[0][y-1]);
    }else {
        x=x-y+k;
        T=T.pow(x-1);
        A=A*T;
        printf("%lld",A.N[0][k-1]);
    }
    return 0;
}